Номер 10.39, страница 202 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.39, страница 202.

Условие.

10.39*. Допустим, что небольшой космический корабль, масса которого вместе с экипажем равна 1460 кг, оказался в космическом пространстве, где гравитационное поле пренебрежимо мало. Какую скорость приобретёт корабль, если на нём установить прожектор, излучающий в пространство свет мощностью $10^4$ Вт в течение одних земных суток?

Решение.

Дано:

Масса корабля, $m = 1460 \text{ кг}$

Мощность прожектора, $P = 10^4 \text{ Вт}$

Время работы прожектора, $t = 1 \text{ земные сутки}$

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

Время $t = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ часа} \times 60 \text{ минут/час} \times 60 \text{ секунд/минуту} = 86400 \text{ с}$.

Найти:

Скорость корабля $\text{v}$.

Решение:

Согласно условию, космический корабль находится в пространстве, где гравитационное поле пренебрежимо мало. Это означает, что система, состоящая из корабля и излучаемого им света, является замкнутой. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса.

Изначально корабль покоился, поэтому начальный импульс системы был равен нулю.

При включении прожектора излучаемые фотоны уносят с собой импульс. Для сохранения общего импульса системы равным нулю корабль должен приобрести импульс, равный по величине и противоположный по направлению импульсу, унесённому светом.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$\vec{p}_{корабля} + \vec{p}_{света} = 0$

Отсюда следует, что модули импульсов равны:

$p_{корабля} = p_{света}$

Импульс корабля определяется по формуле: $p_{корабля} = m \cdot v$, где $\text{m}$ - масса корабля, а $\text{v}$ - его скорость.

Импульс, уносимый светом (потоком фотонов), связан с энергией этого излучения $\text{E}$ соотношением: $p_{света} = \frac{E}{c}$, где $\text{c}$ - скорость света.

Энергия $\text{E}$, которую прожектор излучает за время $\text{t}$ при мощности $\text{P}$, равна:

$E = P \cdot t$

Подставим это выражение в формулу для импульса света:

$p_{света} = \frac{P \cdot t}{c}$

Теперь приравняем модули импульсов корабля и света:

$m \cdot v = \frac{P \cdot t}{c}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость корабля $\text{v}$:

$v = \frac{P \cdot t}{m \cdot c}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$v = \frac{10^4 \text{ Вт} \cdot 86400 \text{ с}}{1460 \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{8640 \cdot 10^4}{1460 \cdot 3 \cdot 10^8} = \frac{8.64 \cdot 10^8}{4380 \cdot 10^8} = \frac{8.64}{4380} \approx 0.0019726 \text{ м/с}$

Округлим результат и переведем в более удобные единицы (миллиметры в секунду):

$v \approx 0.00197 \text{ м/с} = 1.97 \text{ мм/с}$

Ответ: корабль приобретёт скорость примерно $1.97 \text{ мм/с}$.