Номер 10.44, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.44, страница 203.

Условие.

10.44*. Фотон, столкнувшись со свободным электроном, изменяет направление движения — рассеивается (рис. 10.4). При этом его энергия уменьшается, а длина волны увеличивается (эффект Комптона). Найдите энергию и импульс рассеянного фотона, если энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен $\theta$.

Рис. 10.4

Решение.

Дано:

Происходит комптоновское рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне.

Энергия падающего фотона: $\text{E}$

Энергия рассеянного фотона: $E'$

Кинетическая энергия электрона отдачи: $E_e$

Условие распределения энергии: $E' = E_e$

Угол рассеяния фотона: $\theta$

Масса покоя электрона: $m_e$

Скорость света в вакууме: $\text{c}$

Найти:

$E' - ?$

$p' - ?$

Решение:

При столкновении фотона с электроном выполняются законы сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения энергии. Начальная энергия системы равна сумме энергии падающего фотона $\text{E}$ и энергии покоя электрона $m_e c^2$. Конечная энергия системы равна сумме энергии рассеянного фотона $E'$ и полной энергии электрона отдачи, которая, в свою очередь, складывается из его энергии покоя $m_e c^2$ и кинетической энергии $E_e$.

$E + m_e c^2 = E' + (E_e + m_e c^2)$

Сократив энергию покоя электрона, получим:

$E = E' + E_e$

По условию задачи, энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи, то есть $E' = E_e$. Подставив это в закон сохранения, получаем:

$E = E' + E' = 2E'$

2. Закон сохранения импульса. Запишем его в векторной форме: $\vec{p} = \vec{p'} + \vec{p_e}$, где $\vec{p}$ – импульс падающего фотона, $\vec{p'}$ – импульс рассеянного фотона, а $\vec{p_e}$ – импульс электрона отдачи. Из этого векторного равенства следует (по теореме косинусов для треугольника импульсов):

$p_e^2 = p^2 + p'^2 - 2pp' \cos\theta$

Импульсы фотонов связаны с их энергиями: $p = E/c$ и $p' = E'/c$. Так как мы установили, что $E = 2E'$, то импульс падающего фотона можно выразить через импульс рассеянного: $p = (2E')/c = 2p'$.

Подставим $p = 2p'$ в уравнение для импульсов:

$p_e^2 = (2p')^2 + p'^2 - 2(2p')p' \cos\theta = 4p'^2 + p'^2 - 4p'^2 \cos\theta = p'^2(5 - 4\cos\theta)$

3. Связь энергии и импульса для электрона. Используем релятивистское соотношение между полной энергией электрона $(E_e + m_e c^2)$ и его импульсом $p_e$:

$(E_e + m_e c^2)^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2$

$E_e^2 + 2E_e m_e c^2 + (m_e c^2)^2 = p_e^2 c^2 + (m_e c^2)^2$

$p_e^2 c^2 = E_e^2 + 2E_e m_e c^2$

В это уравнение подставим условие $E_e = E'$ и связь энергии и импульса для рассеянного фотона $E' = p'c$:

$p_e^2 c^2 = (p'c)^2 + 2(p'c)m_e c^2 = p'^2 c^2 + 2p'm_e c^3$

Разделим обе части на $c^2$:

$p_e^2 = p'^2 + 2p'm_e c$

4. Нахождение искомых величин. Теперь у нас есть два выражения для $p_e^2$. Приравняем их:

$p'^2(5 - 4\cos\theta) = p'^2 + 2p'm_e c$

Перенесем члены, содержащие $p'^2$, в левую часть:

$p'^2(5 - 4\cos\theta - 1) = 2p'm_e c$

$p'^2(4 - 4\cos\theta) = 2p'm_e c$

$4p'^2(1 - \cos\theta) = 2p'm_e c$

Поскольку импульс рассеянного фотона $p' \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $2p'$:

$2p'(1 - \cos\theta) = m_e c$

Отсюда выражаем импульс рассеянного фотона:

$p' = \frac{m_e c}{2(1 - \cos\theta)}$

Энергия рассеянного фотона находится через его импульс по формуле $E' = p'c$:

$E' = \frac{m_e c^2}{2(1 - \cos\theta)}$

Энергия рассеянного фотона

Энергия рассеянного фотона выражается через массу покоя электрона, скорость света и угол рассеяния.

Ответ: $E' = \frac{m_e c^2}{2(1 - \cos\theta)}$

Импульс рассеянного фотона

Импульс рассеянного фотона выражается через массу покоя электрона, скорость света и угол рассеяния.

Ответ: $p' = \frac{m_e c}{2(1 - \cos\theta)}$