Номер 10.42, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.42, страница 203.

Условие.

10.42. $\alpha$-Частица движется по окружности радиусом 0,83 см в однородном магнитном поле с индукцией 25 мТл. Найдите длину волны де Бройля для этой $\alpha$-частицы.

Решение.

Дано:

Тип частицы: $\alpha$-частица

Радиус траектории $R = 0,83 \text{ см}$

Индукция магнитного поля $B = 25 \text{ мТл}$

Заряд $\alpha$-частицы $q = 2e = 2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Постоянная Планка $h = 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0,83 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$B = 25 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

Длину волны де Бройля $\lambda$

Решение:

Длина волны де Бройля для частицы определяется ее импульсом $\text{p}$ согласно формуле:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $\text{h}$ — постоянная Планка, а $p = m_\alpha v$ — импульс $\alpha$-частицы.

$\alpha$-частица движется по окружности в магнитном поле. Это означает, что сила Лоренца $F_Л$, действующая на частицу, является центростремительной силой $F_ц$. Частица движется перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Сила Лоренца: $F_Л = qvB$.

Центростремительная сила: $F_ц = \frac{m_\alpha v^2}{R}$.

Приравниваем эти две силы:

$qvB = \frac{m_\alpha v^2}{R}$

Из этого уравнения мы можем выразить импульс частицы $p = m_\alpha v$:

$qBR = m_\alpha v = p$

Теперь подставим найденное выражение для импульса в формулу для длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qBR}$

Подставим числовые значения. Заряд $\alpha$-частицы $\text{q}$ равен удвоенному элементарному заряду $\text{e}$ ($q = 2e$).

$\lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{(2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (25 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0,83 \cdot 10^{-2} \text{ м})}$

$\lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{3,204 \cdot 10^{-19} \cdot 25 \cdot 10^{-3} \cdot 0,83 \cdot 10^{-2}} \text{ м}$

$\lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{6,6483 \cdot 10^{-23}} \text{ м} \approx 0,9966 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$\lambda \approx 1,0 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 10 \text{ пм}$

Ответ: $1,0 \cdot 10^{-11} \text{ м}$ (или $\text{10}$ пм).