Номер 10.41, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.41, страница 203.

Условие.

10.41. Найдите длину волны де Бройля для протона, прошедшего разность потенциалов:

а) 1 В;

б) 1 кВ.

Решение.

Дано:

Протон

$U_a = 1 \text{ В}$

$U_b = 1 \text{ кВ}$

Перевод в систему СИ:

$U_b = 1 \cdot 10^3 \text{ В}$

Справочные данные:

Заряд протона $q = e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса протона $m_p \approx 1.672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Постоянная Планка $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Найти:

$\lambda_a$ — ?

$\lambda_b$ — ?

Решение:

Длина волны де Бройля $\lambda$ для частицы с импульсом $\text{p}$ определяется по формуле:

$\lambda = \frac{h}{p}$

Когда протон проходит ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$, электрическое поле совершает работу $A = qU = eU$. Эта работа, по закону сохранения энергии, переходит в кинетическую энергию протона $E_k$ (предполагаем, что начальная скорость равна нулю):

$E_k = eU$

Кинетическая энергия связана с импульсом частицы соотношением (используем нерелятивистскую формулу, так как энергия, приобретаемая протоном, много меньше его энергии покоя $m_p c^2 \approx 938 \text{ МэВ}$):

$E_k = \frac{p^2}{2m_p}$

Из этого соотношения выразим импульс протона:

$p = \sqrt{2m_p E_k}$

Подставим выражение для кинетической энергии $E_k = eU$:

$p = \sqrt{2m_p eU}$

Теперь подставим полученное выражение для импульса в формулу длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_p eU}}$

Теперь мы можем рассчитать длину волны для каждого из заданных случаев.

а) Для разности потенциалов $U_a = 1 \text{ В}$:

$\lambda_a = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 1.672 \cdot 10^{-27} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \cdot 1}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{5.357 \cdot 10^{-46}}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{2.314 \cdot 10^{-23}} \approx 2.86 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Это значение можно выразить в пикометрах: $2.86 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 28.6 \text{ пм}$.

Ответ: $2.86 \cdot 10^{-11} \text{ м}$ (или $28.6 \text{ пм}$).

б) Для разности потенциалов $U_b = 1 \text{ кВ} = 1000 \text{ В}$:

$\lambda_b = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 1.672 \cdot 10^{-27} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \cdot 1000}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{5.357 \cdot 10^{-43}}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{7.319 \cdot 10^{-22}} \approx 9.05 \cdot 10^{-13} \text{ м}$

Это значение можно выразить в пикометрах: $9.05 \cdot 10^{-13} \text{ м} = 0.905 \text{ пм}$.

Ответ: $9.05 \cdot 10^{-13} \text{ м}$ (или $0.905 \text{ пм}$).