Номер 10.45, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.45, страница 203.

Условие.

10.45* С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля равна комптоновской длине волны?

Решение.

Дано:

$λ_Б = λ_К$

где $λ_Б$ — длина волны де Бройля, $λ_К$ — комптоновская длина волны электрона.

Постоянные:

$\text{h}$ — постоянная Планка ($ \approx 6.626 \cdot 10^{-34} $ Дж·с)

$m_e$ — масса покоя электрона ($ \approx 9.11 \cdot 10^{-31} $ кг)

$\text{c}$ — скорость света в вакууме ($ \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с)

Найти:

$\text{v}$ — скорость электрона.

Решение:

Длина волны де Бройля для частицы с импульсом $\text{p}$ определяется формулой:

$λ_Б = \frac{h}{p}$

Комптоновская длина волны для электрона определяется его массой покоя $m_e$:

$λ_К = \frac{h}{m_e c}$

Согласно условию задачи, эти длины волн равны:

$λ_Б = λ_К$

$\frac{h}{p} = \frac{h}{m_e c}$

Отсюда следует, что импульс электрона $\text{p}$ равен:

$p = m_e c$

Поскольку полученное значение импульса является произведением массы покоя на скорость света, можно предположить, что скорость электрона будет сопоставима со скоростью света. Поэтому необходимо использовать релятивистскую формулу для импульса:

$p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Приравняем два выражения для импульса:

$\frac{m_e v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_e c$

Сократим массу покоя электрона $m_e$:

$\frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = c$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$\frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = c^2$

Теперь решим это уравнение относительно скорости $\text{v}$:

$v^2 = c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$

$v^2 = c^2 - v^2$

$2v^2 = c^2$

$v^2 = \frac{c^2}{2}$

$v = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}}$

Подставим значение скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с, чтобы найти численное значение скорости:

$v = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{\sqrt{2}} \approx \frac{3 \cdot 10^8}{1.414} \approx 2.12 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: скорость электрона равна $v = \frac{c}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \cdot 10^8$ м/с.