Номер 10.43, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.43, страница 203.

Условие.

10.43. Электрон прошёл ускоряющую разность потенциалов 510 кВ. Определите длину волны де Бройля.

Решение.

Дано:

$U = 510 \text{ кВ}$

Константы:

Заряд электрона $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса покоя электрона $m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Постоянная Планка $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$U = 510 \times 10^3 \text{ В} = 5.1 \times 10^5 \text{ В}$

Найти:

$\lambda$ - ?

Решение:

Длина волны де Бройля определяется формулой:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $\text{h}$ — постоянная Планка, а $\text{p}$ — импульс частицы.

При прохождении ускоряющей разности потенциалов $\text{U}$ электрон приобретает кинетическую энергию $\text{K}$, равную работе электрического поля:

$K = eU$

Вычислим эту энергию:

$K = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 5.1 \times 10^5 \text{ В} = 8.17 \times 10^{-14} \text{ Дж}$

Для определения, нужно ли использовать релятивистскую механику, сравним кинетическую энергию электрона с его энергией покоя $E_0$.

$E_0 = m_0 c^2 = (9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (2.998 \times 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 8.187 \times 10^{-14} \text{ Дж}$

Поскольку кинетическая энергия $\text{K}$ ($8.17 \times 10^{-14}$ Дж) сопоставима с энергией покоя $E_0$ ($8.187 \times 10^{-14}$ Дж), необходимо использовать релятивистские формулы для импульса.

Связь между полной энергией $\text{E}$, импульсом $\text{p}$ и энергией покоя $E_0$ дается соотношением:

$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$

Полная энергия $\text{E}$ равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:

$E = E_0 + K$

Подставим это в предыдущее уравнение:

$(K + E_0)^2 = (pc)^2 + E_0^2$

$K^2 + 2KE_0 + E_0^2 = (pc)^2 + E_0^2$

$(pc)^2 = K^2 + 2KE_0 = K(K + 2E_0)$

Отсюда выразим импульс:

$p = \frac{\sqrt{K(K + 2E_0)}}{c}$

Теперь подставим выражение для импульса в формулу для длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{K(K + 2E_0)}}$

Подставим числовые значения:

$\lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}) \times (2.998 \times 10^8 \text{ м/с})}{\sqrt{(8.17 \times 10^{-14} \text{ Дж}) \times (8.17 \times 10^{-14} \text{ Дж} + 2 \times 8.187 \times 10^{-14} \text{ Дж})}}$

$\lambda = \frac{1.986 \times 10^{-25} \text{ Дж}\cdot\text{м}}{\sqrt{8.17 \times 10^{-14} \times (8.17 + 16.374) \times 10^{-14} \text{ Дж}^2}}$

$\lambda = \frac{1.986 \times 10^{-25}}{\sqrt{8.17 \times 24.544 \times 10^{-28}}} = \frac{1.986 \times 10^{-25}}{\sqrt{200.52 \times 10^{-28}}}$

$\lambda = \frac{1.986 \times 10^{-25}}{1.416 \times 10^{-13}} \approx 1.403 \times 10^{-12} \text{ м}$

Ответ: $\lambda \approx 1.403 \times 10^{-12} \text{ м}$ (или 1.403 пм).