Номер 10.47, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.47, страница 203.

Условие.

10.47**. Объясните следующие особенности эффекта Комптона:

a) независимость смещения $\Delta \lambda$ от природы рассеивающего вещества;

б) увеличение интенсивности смещённой компоненты рассеянного излучения с уменьшением атомного номера элемента, а также с ростом угла рассеяния;

в) наличие несмещённой компоненты в рассеянном излучении.

Решение.

а) независимость смещения Δλ от природы рассеивающего вещества

Эффект Комптона представляет собой упругое рассеяние фотона на свободной или слабосвязанной заряженной частице, как правило, на электроне. В основе теоретического описания этого явления лежат законы сохранения энергии и импульса, применяемые к системе "фотон-электрон".

Из решения системы уравнений, описывающих эти законы сохранения, получается формула для изменения длины волны фотона (комптоновского смещения):

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$

где $\lambda$ и $\lambda'$ – длины волн фотона до и после рассеяния, $\text{h}$ – постоянная Планка, $m_e$ – масса покоя электрона, $\text{c}$ – скорость света в вакууме, а $\theta$ – угол рассеяния фотона.

Величина $\lambda_C = \frac{h}{m_e c}$ называется комптоновской длиной волны электрона и является фундаментальной константой. Анализ формулы показывает, что смещение длины волны $\Delta\lambda$ зависит только от фундаментальных физических констант ($h, m_e, c$) и угла рассеяния $\theta$. В формуле отсутствуют какие-либо характеристики рассеивающего вещества (например, атомный номер, плотность, кристаллическая структура). Это объясняется тем, что в модели эффекта Комптона взаимодействие рассматривается как столкновение с отдельным, свободным электроном, свойства которого не зависят от того, в атоме какого вещества он находился.

Ответ: Смещение длины волны в эффекте Комптона определяется формулой $\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$, которая включает в себя только фундаментальные константы и угол рассеяния. Так как рассеяние происходит на отдельном электроне, который считается свободным, свойства вещества, содержащего эти электроны, не влияют на величину смещения.

б) увеличение интенсивности смещённой компоненты рассеянного излучения с уменьшением атомного номера элемента, а также с ростом угла рассеяния

Данная особенность имеет две составляющие:

1. Зависимость от атомного номера (Z). Эффект Комптона (неупругое рассеяние) происходит на слабосвязанных, квазисвободных электронах. Энергия связи электронов в атоме растет с увеличением атомного номера Z. В элементах с малым Z (например, углерод) внешние электроны слабо связаны с ядром, и энергия налетающего рентгеновского или гамма-фотона значительно превышает их энергию связи. Такие электроны ведут себя практически как свободные, и вероятность комптоновского рассеяния на них высока. В элементах с большим Z (например, свинец) большинство электронов, особенно на внутренних оболочках, сильно связаны с ядром. Для таких электронов более вероятны другие процессы, такие как фотоэффект или когерентное (рэлеевское) рассеяние на атоме в целом. Таким образом, с уменьшением атомного номера Z увеличивается доля "свободных" электронов, что приводит к увеличению вероятности комптоновского рассеяния и, следовательно, к росту интенсивности смещённой компоненты.

2. Зависимость от угла рассеяния ($\theta$). Абсолютная интенсивность рассеянного излучения (и смещённой, и несмещённой компонент) в целом уменьшается с ростом угла рассеяния. Однако интенсивность когерентного (рэлеевского) рассеяния, дающего несмещённую компоненту, спадает с ростом угла $\theta$ быстрее, чем интенсивность комптоновского рассеяния. В результате относительная интенсивность смещённой компоненты по сравнению с несмещённой возрастает при увеличении угла рассеяния. Кроме того, с ростом угла $\theta$ увеличивается и само смещение длины волны $\Delta\lambda$, и энергия, передаваемая электрону отдачи. Это делает эффект неупругого рассеяния более выраженным. Вероятно, в вопросе имеется в виду именно рост относительной интенсивности смещённой линии в спектре рассеянного излучения.

Ответ: Интенсивность смещённой компоненты растёт с уменьшением атомного номера Z, так как в лёгких элементах больше слабосвязанных электронов, на которых эффективно происходит комптоновское рассеяние. С ростом угла рассеяния $\theta$ увеличивается относительная интенсивность смещённой компоненты по сравнению с несмещённой, так как когерентное рассеяние ослабевает с углом быстрее, чем комптоновское.

в) наличие несмещённой компоненты в рассеянном излучении

Несмещённая компонента в спектре рассеянного излучения (то есть линия с той же длиной волны, что и у падающего излучения) возникает из-за когерентного (рэлеевского) рассеяния фотонов.

Такой тип рассеяния происходит, когда фотон взаимодействует не со свободным или слабосвязанным электроном, а с электроном, прочно связанным в атоме. Если энергия падающего фотона $h\nu$ недостаточна, чтобы выбить электрон из атома (т.е. меньше энергии связи электрона), то фотон рассеивается на атоме как на едином целом. В этом случае в формулу для комптоновского смещения вместо массы электрона $m_e$ необходимо подставить массу всего атома $M_{atom}$:

$\Delta\lambda' = \frac{h}{M_{atom} c}(1 - \cos\theta)$

Поскольку масса атома в тысячи раз превышает массу электрона ($M_{atom} \gg m_e$), смещение длины волны $\Delta\lambda'$ оказывается пренебрежимо малым ($\Delta\lambda' \approx 0$). В результате рассеянный фотон имеет практически ту же энергию и длину волны, что и падающий. Этот процесс упругого рассеяния и формирует несмещённую компоненту в наблюдаемом спектре.

Ответ: Несмещённая компонента обусловлена когерентным рассеянием фотонов на сильно связанных электронах. В этом случае фотон взаимодействует с атомом как с единым целым, и из-за большой массы атома по сравнению с массой электрона изменение длины волны фотона оказывается практически равным нулю.