Номер 10.51, страница 204 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.51, страница 204.

Условие.

10.51* Длина волны падающего фотона равна 6 пм. Определите кинетическую энергию и импульс электрона отдачи при рассеянии фотона под углом 30°.

Решение.

Дано:

Длина волны падающего фотона, $ \lambda = 6 $ пм

Угол рассеяния фотона, $ \theta = 30° $

Перевод в систему СИ:

$ \lambda = 6 \times 10^{-12} \text{ м} $

Найти:

Кинетическую энергию электрона отдачи $ K_e $

Импульс электрона отдачи $ p_e $

Решение:

Задача описывает эффект Комптона — упругое рассеяние фотона на свободном электроне, при котором изменяется длина волны фотона, а электрон получает энергию и импульс отдачи. Для решения используются законы сохранения энергии и импульса.

Необходимые физические константы:

Постоянная Планка, $ h \approx 6.626 \times 10^{-34} $ Дж·с

Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \times 10^8 $ м/с

Масса покоя электрона, $ m_e \approx 9.109 \times 10^{-31} $ кг

Кинетическая энергия электрона отдачи

По закону сохранения энергии, кинетическая энергия, полученная электроном ($ K_e $), равна разности энергий падающего ($ E $) и рассеянного ($ E' $) фотонов:

$ K_e = E - E' = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} = hc\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) $

Для нахождения длины волны рассеянного фотона $ \lambda' $ используется формула комптоновского сдвига:

$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta) $

Сначала вычислим комптоновскую длину волны электрона $ \lambda_C = \frac{h}{m_e c} $:

$ \lambda_C = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{(9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})} \approx 2.426 \times 10^{-12} $ м.

Теперь найдем изменение длины волны фотона:

$ \Delta\lambda = 2.426 \times 10^{-12} \text{ м} \times (1 - \cos 30°) = 2.426 \times 10^{-12} \text{ м} \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 2.426 \times 10^{-12} \text{ м} \times 0.134 \approx 0.325 \times 10^{-12} $ м.

Следовательно, длина волны рассеянного фотона:

$ \lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 6 \times 10^{-12} \text{ м} + 0.325 \times 10^{-12} \text{ м} = 6.325 \times 10^{-12} $ м.

Подставим найденные значения в формулу для кинетической энергии:

$ K_e = hc\frac{\Delta\lambda}{\lambda\lambda'} = (6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \times \frac{0.325 \times 10^{-12} \text{ м}}{(6 \times 10^{-12} \text{ м}) \times (6.325 \times 10^{-12} \text{ м})} $

$ K_e \approx (1.988 \times 10^{-25} \text{ Дж·м}) \times \frac{0.325 \times 10^{-12} \text{ м}}{37.95 \times 10^{-24} \text{ м}^2} \approx 1.70 \times 10^{-15} $ Дж.

Ответ: Кинетическая энергия электрона отдачи $ K_e \approx 1.70 \times 10^{-15} $ Дж.

Импульс электрона отдачи

Согласно закону сохранения импульса, импульс падающего фотона $ \vec{p} $ равен векторной сумме импульса рассеянного фотона $ \vec{p'} $ и импульса электрона отдачи $ \vec{p_e} $ (электрон до столкновения покоился):

$ \vec{p} = \vec{p'} + \vec{p_e} $

Из векторного треугольника $ \vec{p_e} = \vec{p} - \vec{p'} $ по теореме косинусов находим модуль импульса электрона:

$ p_e^2 = p^2 + (p')^2 - 2 p p' \cos\theta $

где импульсы фотонов равны $ p = \frac{h}{\lambda} $ и $ p' = \frac{h}{\lambda'} $.

Рассчитаем импульсы:

$ p = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{6 \times 10^{-12} \text{ м}} \approx 1.104 \times 10^{-22} $ кг·м/с.

$ p' = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{6.325 \times 10^{-12} \text{ м}} \approx 1.048 \times 10^{-22} $ кг·м/с.

Подставим значения в формулу для квадрата импульса электрона:

$ p_e^2 \approx (1.104 \times 10^{-22})^2 + (1.048 \times 10^{-22})^2 - 2(1.104 \times 10^{-22})(1.048 \times 10^{-22}) \cos 30° $

$ p_e^2 \approx (1.219 \times 10^{-44}) + (1.098 \times 10^{-44}) - (2.314 \times 10^{-44}) \times 0.866 $

$ p_e^2 \approx 2.317 \times 10^{-44} - 2.004 \times 10^{-44} = 0.313 \times 10^{-44} $ (кг·м/с)$^2$.

Извлекая квадратный корень, находим искомый импульс:

$ p_e = \sqrt{0.313 \times 10^{-44} \text{ (кг·м/с)}^2} \approx 0.56 \times 10^{-22} $ кг·м/с.

Ответ: Импульс электрона отдачи $ p_e \approx 0.56 \times 10^{-22} $ кг·м/с.