Номер 10.50, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.50, страница 203.

Условие.

10.50*. Какова была длина волны рентгеновского излучения, если при комптоновском рассеянии этого излучения графитом под углом $60^{\circ}$ длина волны рассеянного излучения оказалась равной $2,54 \cdot 10^{-11}$ м?

Решение.

Дано:

Угол комптоновского рассеяния, $\theta = 60°$

Длина волны рассеянного излучения, $\lambda' = 2,54 \cdot 10^{-11}$ м

Справочные данные:

Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Масса покоя электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Все данные уже представлены в системе СИ (или стандартных единицах).

Найти:

Начальную длину волны рентгеновского излучения, $\lambda$

Решение:

Эффект Комптона описывает изменение длины волны рентгеновского или гамма-излучения при рассеянии на свободных электронах. Изменение длины волны ($\Delta\lambda$) определяется формулой:

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$

где $\lambda$ — начальная длина волны, $\lambda'$ — длина волны после рассеяния, $\theta$ — угол рассеяния, $\text{h}$ — постоянная Планка, $m_e$ — масса покоя электрона, $\text{c}$ — скорость света.

Величина $\lambda_C = \frac{h}{m_e c}$ называется комптоновской длиной волны электрона. Её значение является физической константой:

$\lambda_C = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 2,426 \cdot 10^{-12}$ м

Тогда формула комптоновского рассеяния принимает вид:

$\lambda' - \lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta)$

Из этой формулы выразим искомую начальную длину волны $\lambda$:

$\lambda = \lambda' - \lambda_C(1 - \cos\theta)$

Подставим известные значения в формулу. Угол рассеяния $\theta = 60°$, косинус этого угла равен $\cos(60°) = 0,5$.

$\lambda = 2,54 \cdot 10^{-11} \text{ м} - 2,426 \cdot 10^{-12} \text{ м} \cdot (1 - 0,5)$

$\lambda = 2,54 \cdot 10^{-11} \text{ м} - 2,426 \cdot 10^{-12} \text{ м} \cdot 0,5$

$\lambda = 2,54 \cdot 10^{-11} \text{ м} - 1,213 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Для выполнения вычитания приведем оба слагаемых к одному порядку $10^{-11}$:

$1,213 \cdot 10^{-12} \text{ м} = 0,1213 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

$\lambda = 2,54 \cdot 10^{-11} \text{ м} - 0,1213 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

$\lambda = (2,54 - 0,1213) \cdot 10^{-11} \text{ м} = 2,4187 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$\lambda \approx 2,42 \cdot 10^{-11}$ м

Ответ: начальная длина волны рентгеновского излучения была равна $2,42 \cdot 10^{-11}$ м.