Номер 10.33, страница 202 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.33, страница 202.

Условие.

10.33. Найдите энергию фотона, импульс которого равен импульсу атома гелия при температуре 27 °C. Скорость атома считайте равной среднеквадратичной скорости.

Решение.

Дано:

Температура гелия $t = 27$ °С

Импульс фотона $p_{ф}$ равен импульсу атома гелия $p_{а}$

Скорость атома гелия $v_{а}$ равна среднеквадратичной скорости $v_{ск}$

---

Перевод в систему СИ:

Абсолютная температура $T = 27 + 273.15 \approx 300$ К

Молярная масса гелия $M = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Постоянная Больцмана $k = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Число Авогадро $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль^-1

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Энергию фотона $E_{ф}$

Решение:

Энергия фотона $E_{ф}$ связана с его импульсом $p_{ф}$ соотношением:

$E_{ф} = p_{ф} \cdot c$

По условию задачи, импульс фотона равен импульсу атома гелия:

$p_{ф} = p_{а}$

Следовательно, энергия фотона равна:

$E_{ф} = p_{а} \cdot c$

Импульс атома гелия $p_{а}$ определяется как произведение его массы $m_{а}$ на скорость $v_{а}$:

$p_{а} = m_{а} \cdot v_{а}$

Скорость атома гелия, согласно условию, является среднеквадратичной скоростью $v_{ск}$, которая вычисляется по формуле:

$v_{ск} = \sqrt{\frac{3kT}{m_{а}}}$

где $\text{k}$ - постоянная Больцмана, $\text{T}$ - абсолютная температура, $m_{а}$ - масса одного атома.

Подставим выражение для скорости в формулу для импульса атома:

$p_{а} = m_{а} \cdot \sqrt{\frac{3kT}{m_{а}}} = \sqrt{m_{а}^2 \cdot \frac{3kT}{m_{а}}} = \sqrt{3kTm_{а}}$

Теперь подставим полученное выражение для импульса атома в формулу для энергии фотона:

$E_{ф} = c \cdot \sqrt{3kTm_{а}}$

Массу одного атома гелия $m_{а}$ можно найти, разделив молярную массу гелия $\text{M}$ на число Авогадро $N_A$:

$m_{а} = \frac{M}{N_A} = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 6.645 \cdot 10^{-27}$ кг

Подставим все численные значения в формулу для энергии фотона:

$E_{ф} = (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{3 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot (300 \text{ К}) \cdot (6.645 \cdot 10^{-27} \text{ кг})}$

$E_{ф} = (3 \cdot 10^8) \cdot \sqrt{12.42 \cdot 10^{-21} \cdot 6.645 \cdot 10^{-27}} \text{ Дж}$

$E_{ф} = (3 \cdot 10^8) \cdot \sqrt{82.53 \cdot 10^{-48}} \text{ Дж}$

$E_{ф} = (3 \cdot 10^8) \cdot (9.085 \cdot 10^{-24}) \text{ Дж}$

$E_{ф} \approx 27.255 \cdot 10^{-16} \text{ Дж} \approx 2.73 \cdot 10^{-15}$ Дж

Ответ: Энергия фотона равна приблизительно $2.73 \cdot 10^{-15}$ Дж.