Номер 7, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 8.

Условие.

7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения расстояния между двумя точками с известными координатами используется формула, основанная на теореме Пифагора. Формула зависит от размерности пространства (на плоскости или в пространстве).

Расстояние на плоскости (2D)

Пусть даны две точки на плоскости: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Расстояние $d$ между этими точками равно длине отрезка $AB$.

Чтобы найти это расстояние, можно построить прямоугольный треугольник, где отрезок $AB$ будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат. Длины катетов будут равны разностям соответствующих координат: $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов разностей их координат:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем формулу расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Пример: Найти расстояние между точками $A(1, 3)$ и $B(5, 6)$.

$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: Расстояние между двумя точками на плоскости $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Расстояние в пространстве (3D)

Аналогично, для двух точек в трехмерном пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ формула расстояния является обобщением случая на плоскости и также следует из теоремы Пифагора.

Формула для нахождения расстояния $d$ между точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Пример: Найти расстояние между точками $A(1, 0, 2)$ и $B(3, 2, 3)$.

$d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: Расстояние между двумя точками в пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.