Номер 8, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 8.

Условие.

8. Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?

Решение 1.

Решение 3.

Чтобы найти координаты середины отрезка, необходимо вычислить среднее арифметическое (или полусумму) соответствующих координат его концов. Это правило справедливо для любого числа измерений (на прямой, на плоскости, в пространстве и т.д.).

Координаты середины отрезка на плоскости (2D)

Пусть даны две точки, являющиеся концами отрезка: точка $A$ с координатами $(x_A; y_A)$ и точка $B$ с координатами $(x_B; y_B)$. Пусть точка $C(x_C; y_C)$ — середина отрезка $AB$.

Тогда ее координаты вычисляются по следующим формулам:

Координата $x$ середины отрезка: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Координата $y$ середины отрезка: $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Ответ: Координаты середины отрезка $C(x_C; y_C)$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ находятся по формулам: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Координаты середины отрезка в пространстве (3D)

Правило аналогично распространяется и на трехмерное пространство. Если отрезок задан координатами своих концов $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, то координаты его середины $C(x_C; y_C; z_C)$ будут равны:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Ответ: Координаты середины отрезка $C(x_C; y_C; z_C)$ с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ находятся по формулам: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$ и $z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$.

Пример

Найдем координаты точки $M$ — середины отрезка $PQ$, если $P(-3; 5)$ и $Q(7; 1)$.

Используем формулы для случая на плоскости:

$x_M = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_M = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Следовательно, точка $M$ имеет координаты $(2; 3)$.

Ответ: Координаты середины отрезка $PQ$ равны $(2; 3)$.