Номер 7, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 9.

Условие.

1.7. Укажите расстояние от точки $M (4; -5; 2)$ до координатной плоскости:

1) $xy$;

2) $xz$;

3) $yz$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения расстояния от точки до координатной плоскости необходимо определить, какая координата для всех точек этой плоскости равна нулю. Расстояние будет равно модулю (абсолютной величине) этой координаты для данной точки.

Дана точка $M$ с координатами $(4; -5; 2)$.

1) xy

Координатная плоскость $xy$ задается уравнением $z=0$. Это означает, что для любой точки, лежащей в этой плоскости, ее аппликата (координата $z$) равна нулю. Расстояние от точки $M(4; -5; 2)$ до плоскости $xy$ равно модулю ее $z$-координаты.

Проекцией точки $M(4; -5; 2)$ на плоскость $xy$ является точка $M_{xy}(4; -5; 0)$. Расстояние между точкой и плоскостью равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, то есть длине отрезка $MM_{xy}$.

$d_{xy} = \sqrt{(4-4)^2 + (-5 - (-5))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

Проще говоря, расстояние равно модулю $z$-координаты точки $M$: $d_{xy} = |2| = 2$.

Ответ: 2.

2) xz

Координатная плоскость $xz$ задается уравнением $y=0$. Для любой точки в этой плоскости ее ордината (координата $y$) равна нулю. Расстояние от точки $M(4; -5; 2)$ до плоскости $xz$ равно модулю ее $y$-координаты.

Проекцией точки $M(4; -5; 2)$ на плоскость $xz$ является точка $M_{xz}(4; 0; 2)$. Расстояние равно длине отрезка $MM_{xz}$.

$d_{xz} = \sqrt{(4-4)^2 + (-5 - 0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.

Проще говоря, расстояние равно модулю $y$-координаты точки $M$: $d_{xz} = |-5| = 5$.

Ответ: 5.

3) yz

Координатная плоскость $yz$ задается уравнением $x=0$. Для любой точки в этой плоскости ее абсцисса (координата $x$) равна нулю. Расстояние от точки $M(4; -5; 2)$ до плоскости $yz$ равно модулю ее $x$-координаты.

Проекцией точки $M(4; -5; 2)$ на плоскость $yz$ является точка $M_{yz}(0; -5; 2)$. Расстояние равно длине отрезка $MM_{yz}$.

$d_{yz} = \sqrt{(4-0)^2 + (-5 - (-5))^2 + (2-2)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Проще говоря, расстояние равно модулю $x$-координаты точки $M$: $d_{yz} = |4| = 4$.

Ответ: 4.