Номер 10, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 10, страница 9.

Условие.

1.10. Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны оси аппликат (рис. 1.7), $AD = 3$, $AB = 5$, $AA_1 = 8$. Начало координат, точка $O$, является серединой ребра $DD_1$. Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, боковые ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны оси аппликат ($Oz$). Начало координат $O(0, 0, 0)$ является серединой ребра $DD_1$. Длина бокового ребра $AA_1 = 8$, следовательно, и $DD_1 = 8$.

Поскольку $O$ — середина $DD_1$, то отрезки $OD$ и $OD_1$ равны: $OD = OD_1 = \frac{DD_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Так как ребро $DD_1$ проходит через начало координат и параллельно оси $Oz$, оно лежит на этой оси. Из рисунка 1.7 следует, что точка $D$ расположена на отрицательной части оси $Oz$, а $D_1$ — на положительной. Таким образом, их координаты: $D(0, 0, -4)$ и $D_1(0, 0, 4)$.

Основание $ABCD$ лежит в плоскости $z=-4$, а основание $A_1B_1C_1D_1$ — в плоскости $z=4$. Из рисунка видно, что ребра основания, выходящие из вершины $D$, параллельны осям координат: $AD$ параллельно оси $Ox$, а $DC$ — оси $Oy$. Используя длины ребер $AD=3$ и $AB=5$ (а значит $DC=5$), и зная координаты точки $D$, найдем координаты остальных вершин.

Для нижнего основания $ABCD$ (в плоскости $z=-4$):

Вершина $A$ смещена от $D$ по оси $Ox$ на 3 единицы, значит, её координаты $A(3, 0, -4)$.

Вершина $C$ смещена от $D$ по оси $Oy$ на 5 единиц, значит, её координаты $C(0, 5, -4)$.

Вершина $B$ имеет $x$-координату от $A$ и $y$-координату от $C$, значит, её координаты $B(3, 5, -4)$.

Для верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ (в плоскости $z=4$):

Координаты $x$ и $y$ вершин верхнего основания совпадают с координатами соответствующих вершин нижнего основания, меняется только координата $z$.

$A_1(3, 0, 4)$, $B_1(3, 5, 4)$, $C_1(0, 5, 4)$.

Ответ: $A(3, 0, -4)$, $B(3, 5, -4)$, $C(0, 5, -4)$, $D(0, 0, -4)$, $A_1(3, 0, 4)$, $B_1(3, 5, 4)$, $C_1(0, 5, 4)$, $D_1(0, 0, 4)$.