Номер 9, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 9.

Условие.

1.9. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1.6. Точка $A$ имеет координаты $(1; -1; 0)$. Найдите координаты остальных вершин куба.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения координат остальных вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся данными координатами вершины $A(1; -1; 0)$ и свойствами куба. Так как аппликата (координата $z$) точки $A$ равна 0, можно предположить, что грань $ABCD$ лежит в плоскости $Oxy$. Координаты $x=1$ и $y=-1$ указывают на то, что центр грани $ABCD$ может находиться в начале координат $O(0;0;0)$, а ребра куба параллельны осям координат.

При таком расположении вершины квадрата $ABCD$ имеют координаты $(\pm s; \pm s; 0)$. Для точки $A(1; -1; 0)$ это означает, что $s = 1$. Длина ребра куба $a$ вдвое больше, то есть $a = 2s = 2$.

Таким образом, мы рассматриваем куб с ребром $a=2$. Грань $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$, ее центр — в начале координат. Вершины расположены в точках $(\pm 1; \pm 1; 0)$. Грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна $ABCD$ и, будем считать, сдвинута в положительном направлении оси $Oz$. Вектор сдвига $\vec{AA_1}=(0; 0; 2)$. Найдем координаты остальных семи вершин.

Координаты вершины B

Вершины в грани $ABCD$ обходятся последовательно, например, против часовой стрелки. От $A(1; -1; 0)$ к $B$ можно перейти, сдвинувшись в отрицательном направлении оси $Ox$ на расстояние $a=2$. Вектор этого смещения $\vec{AB} = (-2; 0; 0)$.
Координаты $B$ равны сумме координат $A$ и вектора $\vec{AB}$: $B = (1; -1; 0) + (-2; 0; 0) = (-1; -1; 0)$.

Ответ: $B(-1; -1; 0)$

Координаты вершины D

Вершина $D$ также смежна с $A$. От $A(1; -1; 0)$ к $D$ можно перейти, сдвинувшись в положительном направлении оси $Oy$ на расстояние $a=2$. Вектор смещения $\vec{AD} = (0; 2; 0)$.
Координаты $D = A + \vec{AD} = (1; -1; 0) + (0; 2; 0) = (1; 1; 0)$.

Ответ: $D(1; 1; 0)$

Координаты вершины C

Вершина $C$ является общей для ребер $BC$ и $DC$. Ее можно найти, сдвинув вершину $B$ на вектор $\vec{BC} = \vec{AD} = (0; 2; 0)$.
Координаты $C = B + \vec{AD} = (-1; -1; 0) + (0; 2; 0) = (-1; 1; 0)$.

Ответ: $C(-1; 1; 0)$

Координаты вершины $A_1$

Вершины верхней грани получаются сдвигом соответствующих вершин нижней грани на вектор $\vec{v} = (0; 0; 2)$, так как ребро $AA_1$ параллельно оси $Oz$ и имеет длину $a=2$.
Координаты $A_1 = A + \vec{v} = (1; -1; 0) + (0; 0; 2) = (1; -1; 2)$.

Ответ: $A_1(1; -1; 2)$

Координаты вершины $B_1$

Аналогично находим координаты вершины $B_1$, сдвигая вершину $B$ на вектор $\vec{v} = (0; 0; 2)$.
Координаты $B_1 = B + \vec{v} = (-1; -1; 0) + (0; 0; 2) = (-1; -1; 2)$.

Ответ: $B_1(-1; -1; 2)$

Координаты вершины $C_1$

Аналогично находим координаты вершины $C_1$, сдвигая вершину $C$ на вектор $\vec{v} = (0; 0; 2)$.
Координаты $C_1 = C + \vec{v} = (-1; 1; 0) + (0; 0; 2) = (-1; 1; 2)$.

Ответ: $C_1(-1; 1; 2)$

Координаты вершины $D_1$

Аналогично находим координаты вершины $D_1$, сдвигая вершину $D$ на вектор $\vec{v} = (0; 0; 2)$.
Координаты $D_1 = D + \vec{v} = (1; 1; 0) + (0; 0; 2) = (1; 1; 2)$.

Ответ: $D_1(1; 1; 2)$