Номер 13, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Декартовы координаты точки в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 13, страница 10.

Условие.

1.13. Точки $A (3; -2; 6)$ и $C (-1; 2; -4)$ являются вершинами квадрата $ABCD$. Найдите площадь этого квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку точки $A$ и $C$ являются вершинами квадрата $ABCD$, а в названии квадрата они не являются соседними (между ними стоит вершина $B$), то они являются противолежащими вершинами. Следовательно, отрезок $AC$ — это диагональ квадрата.

Площадь квадрата $S$ можно вычислить через его диагональ $d$ по формуле: $S = \frac{d^2}{2}$.

Для начала найдем квадрат длины диагонали $AC$. Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами $A(x_1; y_1; z_1)$ и $C(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Соответственно, квадрат расстояния равен:$d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Подставим координаты точек $A(3; -2; 6)$ и $C(-1; 2; -4)$:

$AC^2 = (-1 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-4 - 6)^2$

$AC^2 = (-4)^2 + (2 + 2)^2 + (-10)^2$

$AC^2 = 16 + 4^2 + 100$

$AC^2 = 16 + 16 + 100 = 132$

Теперь, зная квадрат длины диагонали, можем найти площадь квадрата:

$S = \frac{AC^2}{2} = \frac{132}{2} = 66$

Ответ: 66