Номер 15, страница 94, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 32. Формула деления с остатком. Часть 2 - номер 15, страница 94.

Условие 2024.

15* Найди все способы размена 10 р. монетами в 1 р., 2 р. и 5 р.

Решение 2 (2024).

Для решения этой задачи необходимо найти все комбинации монет номиналом 1, 2 и 5 рублей, которые в сумме дают 10 рублей. Составим уравнение, где $x$ — количество монет по 5 р., $y$ — количество монет по 2 р., а $z$ — количество монет по 1 р.:

$5x + 2y + z = 10$

Здесь $x$, $y$ и $z$ должны быть целыми неотрицательными числами. Решим задачу методом перебора, рассматривая все возможные количества самых крупных монет (5 р.).

Случай 1: Используются две монеты по 5 рублей

Если мы берем две монеты по 5 р. ($x=2$), их сумма уже равна 10 р. ($5 \cdot 2 = 10$).

$10 + 2y + z = 10$

$2y + z = 0$

Единственное решение для этого уравнения — $y=0$ и $z=0$. Это дает нам первый способ:

• 2 монеты по 5 р.

Случай 2: Используется одна монета по 5 рублей

Если мы берем одну монету по 5 р. ($x=1$), то остается добрать $10 - 5 = 5$ рублей монетами по 2 р. и 1 р.

$5 + 2y + z = 10$

$2y + z = 5$

Рассмотрим возможные количества монет по 2 р. ($y$):

• Если взять 2 монеты по 2 р. ($y=2$), то $2 \cdot 2 = 4$ р. Остается $5 - 4 = 1$ р., что равно одной монете по 1 р. ($z=1$).
  Комбинация: 1×5р., 2×2р., 1×1р.
• Если взять 1 монету по 2 р. ($y=1$), то это 2 р. Остается $5 - 2 = 3$ р., что равно трем монетам по 1 р. ($z=3$).
  Комбинация: 1×5р., 1×2р., 3×1р.
• Если не брать монеты по 2 р. ($y=0$), то все 5 р. нужно набрать монетами по 1 р. ($z=5$).
  Комбинация: 1×5р., 5×1р.

Таким образом, мы нашли еще 3 способа.

Случай 3: Монеты по 5 рублей не используются

Если мы не берем монеты по 5 р. ($x=0$), то всю сумму в 10 р. нужно набрать монетами по 2 р. и 1 р.

$2y + z = 10$

Рассмотрим возможные количества монет по 2 р. ($y$):

• Если взять 5 монет по 2 р. ($y=5$), то их сумма равна 10 р. Монеты по 1 р. не нужны ($z=0$).
  Комбинация: 5×2р.
• Если взять 4 монеты по 2 р. ($y=4$), то $2 \cdot 4 = 8$ р. Остается $10 - 8 = 2$ р., т.е. 2 монеты по 1 р. ($z=2$).
  Комбинация: 4×2р., 2×1р.
• Если взять 3 монеты по 2 р. ($y=3$), то $2 \cdot 3 = 6$ р. Остается $10 - 6 = 4$ р., т.е. 4 монеты по 1 р. ($z=4$).
  Комбинация: 3×2р., 4×1р.
• Если взять 2 монеты по 2 р. ($y=2$), то $2 \cdot 2 = 4$ р. Остается $10 - 4 = 6$ р., т.е. 6 монет по 1 р. ($z=6$).
  Комбинация: 2×2р., 6×1р.
• Если взять 1 монету по 2 р. ($y=1$), то это 2 р. Остается $10 - 2 = 8$ р., т.е. 8 монет по 1 р. ($z=8$).
  Комбинация: 1×2р., 8×1р.
• Если не брать монеты по 2 р. ($y=0$), то все 10 р. набираются монетами по 1 р. ($z=10$).
  Комбинация: 10×1р.

В этом случае мы нашли еще 6 способов.

Всего способов: $1 + 3 + 6 = 10$.

Полный список всех способов:

1. Две монеты по 5 р.
2. Одна монета по 5 р., две монеты по 2 р. и одна монета по 1 р.
3. Одна монета по 5 р., одна монета по 2 р. и три монеты по 1 р.
4. Одна монета по 5 р. и пять монет по 1 р.
5. Пять монет по 2 р.
6. Четыре монеты по 2 р. и две монеты по 1 р.
7. Три монеты по 2 р. и четыре монеты по 1 р.
8. Две монеты по 2 р. и шесть монет по 1 р.
9. Одна монета по 2 р. и восемь монет по 1 р.
10. Десять монет по 1 р.

Ответ: существует 10 способов размена 10 рублей монетами номиналом 1, 2 и 5 рублей.

Условие 2020-2022.

15* Найди все способы размена 10 руб. монетами в 1 руб., 2 руб. и 5 руб.

Решение 2020-2022.