Номер 1, страница 91, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Часть 1. Числа, которые больше 1000. Что узнали. Чему научились - номер 1, страница 91.

Условие.

1. Объясни, почему верны равенства.

1) 170 · 3 + 170 = 170 · 4
560 · 9 − 560 = 560 · 8
96 · 4 + 96 · 6 = 96 · 10
45 · 3 + 450 = 450 + 3 · 45

2) (81 + 27) : 9 = 81: 9 + 27 : 9
(540 − 180) : 6 = 540 : 6 − 180 : 6

Решение 1.

1. 1) 170 ∙ 3 + 170 = 170 · 4

Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 170 сначала повторили 3 раза, затем еще один раз. Значит всего 4 раза. Справа число 170 повторили 4 раза. Поэтому равенство верно.

560 ∙ 9 − 560 = 560 · 8
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 560 сначала повторили 9 раз, затем один раз убрали. Значит всего 8 раз. Справа число 560 повторили 8 раз. Поэтому равенство верно.

96 ∙ 4 + 96 ∙ 6 = 96 · 10
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых. Значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц. С левой стороны число 96 сначала повторили 4 раза, затем еще 6 раз. Значит всего 10 раз. Справа число 96 повторили 10 раз. Поэтому равенство верно.

45 ∙ 3 + 450 = 450 + 3 · 45 – равенство верно на основании переместительного свойства сложения и умножения.

2) (81 + 27) : 9 = 81 : 9 + 27 : 9 – равенство верно на основе правила деления суммы чисел на число. Чтобы разделить сумму на число, нужно каждое слагаемое разделить, а результаты сложить.

(540 − 180) : 6 = 540 : 6 − 180 : 6 – равенство верно на основании правила деления разности чисел на число. Чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Все равенства в этом пункте верны, так как они основаны на свойствах арифметических операций, в основном на распределительном свойстве умножения (также известном как дистрибутивность) и переместительном свойстве сложения и умножения (коммутативность).

• $170 \cdot 3 + 170 = 170 \cdot 4$
  Данное равенство справедливо благодаря распределительному свойству умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
  В левой части выражения $170 \cdot 3 + 170$ мы можем представить второе слагаемое $170$ как $170 \cdot 1$. Тогда выражение примет вид $170 \cdot 3 + 170 \cdot 1$. Теперь мы можем вынести общий множитель $170$ за скобки: $170 \cdot (3 + 1)$.
  Поскольку $3 + 1 = 4$, выражение становится равным $170 \cdot 4$, что и указано в правой части равенства.
  Проверим вычислениями: $170 \cdot 3 + 170 = 510 + 170 = 680$. Правая часть: $170 \cdot 4 = 680$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением распределительного свойства умножения.

• $96 \cdot 4 + 96 \cdot 6 = 96 \cdot 10$
  Это равенство также основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
  В левой части выражения $96 \cdot 4 + 96 \cdot 6$ общим множителем является число $96$. Вынесем его за скобки: $96 \cdot (4 + 6)$.
  Сумма в скобках равна $4 + 6 = 10$. Таким образом, левая часть равна $96 \cdot 10$.
  Проверим вычислениями: $96 \cdot 4 + 96 \cdot 6 = 384 + 576 = 960$. Правая часть: $96 \cdot 10 = 960$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением распределительного свойства умножения.

• $560 \cdot 9 - 560 = 560 \cdot 8$
  Здесь применяется распределительное свойство умножения относительно вычитания, которое формулируется как $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.
  В левой части равенства $560 \cdot 9 - 560$ представим вычитаемое $560$ как $560 \cdot 1$. Получим $560 \cdot 9 - 560 \cdot 1$. Вынесем общий множитель $560$ за скобки: $560 \cdot (9 - 1)$.
  Так как $9 - 1 = 8$, выражение равно $560 \cdot 8$.
  Проверим вычислениями: $560 \cdot 9 - 560 = 5040 - 560 = 4480$. Правая часть: $560 \cdot 8 = 4480$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением распределительного свойства умножения.

• $45 \cdot 3 + 450 = 450 + 3 \cdot 45$
  Это равенство справедливо благодаря переместительному свойству сложения ($a + b = b + a$) и переместительному свойству умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).
  Рассмотрим левую часть: $45 \cdot 3 + 450$.
  Рассмотрим правую часть: $450 + 3 \cdot 45$.
  Согласно переместительному свойству умножения, $3 \cdot 45$ равно $45 \cdot 3$.
  Таким образом, правая часть может быть записана как $450 + 45 \cdot 3$.
  Теперь сравним левую часть $45 \cdot 3 + 450$ и правую $450 + 45 \cdot 3$. Согласно переместительному свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Следовательно, части равны.
  Проверим вычислениями: $45 \cdot 3 + 450 = 135 + 450 = 585$. Правая часть: $450 + 3 \cdot 45 = 450 + 135 = 585$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением переместительных свойств сложения и умножения.

2)

Равенства в этом пункте верны благодаря свойству деления суммы и разности на число (распределительное свойство деления).

• $(81 + 27) : 9 = 81 : 9 + 27 : 9$
  Это равенство является примером свойства деления суммы на число: $(a + b) : c = a : c + b : c$. Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные частные.
  В данном случае $a=81$, $b=27$ и $c=9$.
  Проверим вычислениями: левая часть $(81 + 27) : 9 = 108 : 9 = 12$. Правая часть $81 : 9 + 27 : 9 = 9 + 3 = 12$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением правила деления суммы на число.

• $(540 - 180) : 6 = 540 : 6 - 180 : 6$
  Это равенство является примером свойства деления разности на число: $(a - b) : c = a : c - b : c$. Чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем из первого частного вычесть второе.
  В данном случае $a=540$, $b=180$ и $c=6$.
  Проверим вычислениями: левая часть $(540 - 180) : 6 = 360 : 6 = 60$. Правая часть $540 : 6 - 180 : 6 = 90 - 30 = 60$. Результаты совпадают.
  Ответ: Равенство верно, так как оно является применением правила деления разности на число.