Страница 55, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

22. Прочитай текст и запиши цифрами числа. В тысяча девятьсот пятьдесят третьем году в Антарктике был обнаружен айсберг длиной сто сорок пять тысяч метров, шириной сорок тысяч метров.

22. 1953 году, 145 000 м, 40 000 м.

В задании требуется прочитать текст и записать все числа, упомянутые в нем, с помощью цифр. Разберем каждое число по порядку.

Год

В тексте указан "тысяча девятьсот пятьдесят третий год". Для записи этого числа цифрами разобьем его на составные части: "тысяча" — это 1000, "девятьсот" — это 900, "пятьдесят" — это 50, "третий" — это 3. Сложив эти части, получим год:

$1000 + 900 + 50 + 3 = 1953$

Ответ: 1953

Длина

Длина айсберга описана как "сто сорок пять тысяч метров". "Сто сорок пять" записывается цифрами как 145. Указание "тысяч" означает, что это число нужно умножить на 1000, то есть дописать три нуля в конце.

$145 \times 1000 = 145000$

Ответ: 145 000

Ширина

Ширина айсберга составляет "сорок тысяч метров". "Сорок" записывается цифрами как 40. Указание "тысяч", как и в предыдущем случае, означает умножение на 1000.

$40 \times 1000 = 40000$

Ответ: 40 000

23. Высота надводной части айсберга 30 м, это восьмая часть всей его высоты. На какую глубину айсберг уходит под воду?

23. Для наглядности сделаем схематический чертёж.

Пояснение:

Для того чтобы узнать, на какую глубину айсберг уходит под воду, нужно от всей высоты айсберга вычесть высоту надводной части. Но мы не знаем высоту всего айсберга. Поэтому первым действием найдём это значение. Затем ответим на вопрос задачи.

Эту задачу можно решить другим способом. Рассмотрев чертёж мы видим, что высота всего айсберга – это 8 частей по 30 м. Одна часть находится над водой и 7 частей под водой.

Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно 30 умножить на 7.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь (выбрать один из способов):

Способ 1:

1) 30 ∙ 8 = 240 (м) – высота всего айсберга.
2) 240 − 30 = 210 (м)
Ответ: на 210 метров айсберг уходит под воду.

Способ 2:

8 – 1 = 7 (ч) – под водой.
30 ∙ 7 = 210 (м)
Ответ: на 210 метров айсберг уходит под воду.

Для решения задачи нужно определить полную высоту айсберга, а затем найти его подводную часть.

1. Нахождение полной высоты айсберга

В условии сказано, что высота надводной части равна 30 м, и это составляет одну восьмую ($\frac{1}{8}$) от всей высоты айсберга. Чтобы найти полную высоту, мы должны умножить высоту надводной части на 8.

$H_{полная} = 30 \text{ м} \times 8 = 240 \text{ м}$

Таким образом, полная высота айсберга от его основания до вершины составляет 240 метров.

2. Нахождение глубины подводной части

Глубина, на которую айсберг уходит под воду, — это разница между его полной высотой и высотой надводной части.

$H_{подводная} = H_{полная} - H_{надводная}$
$H_{подводная} = 240 \text{ м} - 30 \text{ м} = 210 \text{ м}$

Другой способ:
Если надводная часть составляет $\frac{1}{8}$ всей высоты, то подводная часть составляет оставшиеся $\frac{7}{8}$ (поскольку $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$). Мы знаем, что $\frac{1}{8}$ высоты — это 30 м. Значит, чтобы найти высоту подводной части ($\frac{7}{8}$), нужно 30 м умножить на 7.
$H_{подводная} = 30 \text{ м} \times 7 = 210 \text{ м}$

Ответ: айсберг уходит под воду на глубину 210 м.

24. Школьники пошли на экскурсию в Музей космонавтики в 11 ч. Дорога до музея и обратно заняла 1 ч, осмотр музея − 1 ч 10 мин. Когда школьники возвратились с экскурсии?

24. Запишем задачу кратко:

Начало – 11 ч
Дорога – 1 ч
В музее – 1 ч 10 мин
Окончание – ? ч

Пояснение:

Решить задачу можно двумя способами.

Сначала найти время, потраченное на дорогу и осмотр музея. Затем прибавить его ко времени начала экскурсии.

А можно ко времени начала экскурсии прибавить время, потраченное на дорогу и потом прибавить время, потраченное на осмотр музея.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь (выбрать один из способов):

Способ 1:

1) 1 ч + 1 ч 10 мин = 2 ч 10 мин – время, потраченное на дорогу и осмотр музея.
2) 11 ч + 2 ч 10 мин = 13 ч 10 мин
Ответ: в 13 часов 10 минут школьники возвратились с экскурсии.

Способ 2:

1) 11 ч + 1 ч = 12 ч – время, потраченное на экскурсию без осмотра музея.
2) 12 ч + 1 ч 10 мин = 13 ч 10 мин
Ответ: в 13 часов 10 минут школьники возвратились с экскурсии.

Для решения задачи необходимо сначала найти общую продолжительность экскурсии, а затем прибавить это время к времени её начала.

1. Найдём общее время, затраченное на экскурсию.
Для этого сложим время, потраченное на дорогу, и время, проведённое в музее.
Время на дорогу (туда и обратно): $1$ час.
Время на осмотр музея: $1$ час $10$ минут.
Общая продолжительность: $1 \text{ час} + 1 \text{ час } 10 \text{ минут} = 2 \text{ часа } 10 \text{ минут}$.

2. Определим время возвращения школьников.
Экскурсия началась в $11$ часов $00$ минут. Чтобы найти время возвращения, прибавим к начальному времени общую продолжительность экскурсии.
$11 \text{ часов } 00 \text{ минут} + 2 \text{ часа } 10 \text{ минут} = 13 \text{ часов } 10 \text{ минут}$.

Ответ: школьники возвратились с экскурсии в 13 часов 10 минут.

25. Бегемот может съесть за день 60 кг травы, а слон − 300 кг. Сколько тонн травы требуется бегемоту и слону на 10 дней? Сколькими способами можно решить эту задачу?

25. Для наглядности запишем кратко в таблице:

Пояснение:

Для того чтобы узнать, сколько тонн травы требуется бегемоту и слону на 10 дней, нужно сложить тонны травы, которые требуется бегемоту на 10 дней, и тонны травы, которые требуется слону на 10 дней. Но мы этих значений не знаем. Поэтому вспомним соотношение К₁ К ОК и найдём эти значения сначала, а потом ответим на вопрос задачи.

Чтобы найти общее количество (ОК) тонны травы, которые требуется слону на 10 дней, нужно количество травы, которые может съесть за день (К₁) умножить на количество дней (К) (10 д.)

Так же находим тонны травы, которые требуется бегемоту на 10 дней. Затем складываем эти значения.

Эту задачу можно решить другим способом. Так как нужно узнать, сколько тонн травы требуется бегемоту и слону на 10 дней, можно сначала найти, количество травы, которое могут съесть за день бегемот и слон вместе (К₁).

А потом найти общее количество (ОК) тонн травы, которые требуется бегемоту и слону на 10 дней (умножить на количество дней (К) (10д.)

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь (выбрать один из способов):

Способ 1:

1) 60 ∙ 10 = 600 (кг) – травы нужно бегемоту на 10 дней.
2) 300 ∙ 10 = 3000 (кг) – травы нужно слону на 10 дней.
3) 600 + 3000 = 3600 (кг)
3600 кг = 3 т 600 кг
Ответ: 3 тонны 600 килограммов травы требуется бегемоту и слону на 10 дней.

Способ 2:

1) 60 + 300 = 360 (кг) – съедают бегемот и слон за день.
2) 360 ∙ 10 = 3600 (кг)
3600 кг = 3т 600 кг
Ответ: 3 тонны 600 килограммов травы требуется бегемоту и слону на 10 дней.

Задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1

1. Сначала найдем, сколько всего травы съедают бегемот и слон вместе за один день. Для этого сложим их дневные нормы потребления:

$60 \text{ кг} + 300 \text{ кг} = 360 \text{ кг}$

2. Далее вычислим, сколько травы им понадобится на 10 дней. Для этого умножим их общую дневную норму на количество дней:

$360 \text{ кг/день} \times 10 \text{ дней} = 3600 \text{ кг}$

3. Теперь переведем полученный результат из килограммов в тонны. В одной тонне 1000 килограммов, поэтому:

$3600 \text{ кг} \div 1000 = 3,6 \text{ т}$

Ответ: 3,6 тонны.

Способ 2

1. Сначала вычислим, сколько травы съест каждое животное за 10 дней по отдельности.

Бегемот за 10 дней съест:

$60 \text{ кг/день} \times 10 \text{ дней} = 600 \text{ кг}$

Слон за 10 дней съест:

$300 \text{ кг/день} \times 10 \text{ дней} = 3000 \text{ кг}$

2. Теперь сложим эти два значения, чтобы найти общее количество травы, необходимое обоим животным на 10 дней:

$600 \text{ кг} + 3000 \text{ кг} = 3600 \text{ кг}$

3. Переведем общий вес из килограммов в тонны:

$3600 \text{ кг} \div 1000 = 3,6 \text{ т}$

Ответ: 3,6 тонны.

Сколькими способами можно решить эту задачу?

Как показано выше, эту задачу можно решить как минимум двумя способами. Оба способа являются правильными и приводят к одинаковому результату, но отличаются последовательностью вычислений.

Ответ: 2 способами.

26. Два велосипедиста выехали из двух пунктов навстречу друг другу. Когда первый проехал 1 км 180 м, второй проехал 820 м. На какое расстояние сблизились велосипедисты?

26. Для наглядности сделаем схематический чертёж.

Пояснение:

Для того чтобы узнать, на какое расстояние сблизились велосипедисты, нужно найти расстояние, которое проехали два велосипедиста. Это и будет расстояние, на которое сблизились велосипедисты.

Но сначала нужно единицы длины выразить в одинаковых величинах – метрах. А ответ выразить в километрах.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1 км 180 м = 1 180 м
1 180 м + 820 м = 2 000 м
2 000 м = 2 км
Ответ: на 2 километра сблизились велосипедисты.

Чтобы найти, на какое расстояние сблизились велосипедисты, необходимо сложить расстояния, которые проехал каждый из них. Это общее расстояние, на которое сократилась дистанция между ними.

1. Сначала приведем все значения к одной единице измерения. Удобнее всего считать в метрах. Расстояние, которое проехал первый велосипедист, составляет 1 км 180 м. Переведем его в метры, зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Расстояние первого велосипедиста ($S_1$):
$S_1 = 1 \text{ км } 180 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 180 \text{ м} = 1180 \text{ м}$.

2. Расстояние, которое проехал второй велосипедист ($S_2$), уже дано в метрах:
$S_2 = 820 \text{ м}$.

3. Теперь найдем общее расстояние сближения, сложив пути обоих велосипедистов:

$S_{сближения} = S_1 + S_2 = 1180 \text{ м} + 820 \text{ м} = 2000 \text{ м}$.

Результат можно также выразить в километрах:

$2000 \text{ м} = 2 \text{ км}$.

Ответ: велосипедисты сблизились на 2000 м, или 2 км.

27. Спиши, заполняя пропуски.

27.

700 дм? = ? м?

Для перевода квадратных дециметров (дм?) в квадратные метры (м?) необходимо знать их соотношение. В одном метре содержится 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Следовательно, в одном квадратном метре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных дециметров: $1 \text{ м}? = 100 \text{ дм}?$. Чтобы перевести 700 дм? в м?, нужно разделить это число на 100.
$700 \text{ дм}? \div 100 = 7 \text{ м}?$.
Ответ: 700 дм? = 7 м?

30 см? = ? мм?

Для перевода квадратных сантиметров (см?) в квадратные миллиметры (мм?) нужно знать их соотношение. В одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Значит, в одном квадратном сантиметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров: $1 \text{ см}? = 100 \text{ мм}?$. Чтобы перевести 30 см? в мм?, нужно умножить это число на 100.
$30 \text{ см}? \times 100 = 3000 \text{ мм}?$.
Ответ: 30 см? = 3000 мм?

8 дм? = ? см?

Для перевода квадратных дециметров (дм?) в квадратные сантиметры (см?) нужно знать их соотношение. В одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Следовательно, в одном квадратном дециметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров: $1 \text{ дм}? = 100 \text{ см}?$. Чтобы перевести 8 дм? в см?, нужно умножить это число на 100.
$8 \text{ дм}? \times 100 = 800 \text{ см}?$.
Ответ: 8 дм? = 800 см?

1 437 см? = ? дм? ? см?

Для перевода 1 437 см? в дм? и см? нужно использовать соотношение $1 \text{ дм}? = 100 \text{ см}?$. Чтобы определить, сколько полных квадратных дециметров содержится в 1 437 см?, разделим это число на 100 с остатком.
$1437 \div 100 = 14$ (остаток 37).
Это означает, что 1 437 см? равны 14 дм? и 37 см?.
Ответ: 1 437 см? = 14 дм? 37 см?

2 415 мм? = ? см? ? мм?

Для перевода 2 415 мм? в см? и мм? нужно использовать соотношение $1 \text{ см}? = 100 \text{ мм}?$. Разделим 2 415 на 100, чтобы найти количество полных квадратных сантиметров.
$2415 \div 100 = 24$ (остаток 15).
Таким образом, 2 415 мм? равны 24 см? и 15 мм?.
Ответ: 2 415 мм? = 24 см? 15 мм?

46 030 дм? = ? м? ? дм?

Для перевода 46 030 дм? в м? и дм? используем соотношение $1 \text{ м}? = 100 \text{ дм}?$. Чтобы найти количество полных квадратных метров, разделим 46 030 на 100 с остатком.
$46030 \div 100 = 460$ (остаток 30).
Это значит, что 46 030 дм? равны 460 м? и 30 дм?.
Ответ: 46 030 дм? = 460 м? 30 дм?

28. Подбери числа так, чтобы ты мог найти значения выражений, и выполни действия.

28. Пояснение:

Числа можно подобрать различные, главное нужно подобрать такие числа, чтобы:

В первом выражении в скобках должно получиться число меньше первого числа (уменьшаемого).

А во втором выражении сумма должна быть больше, чем 320.

В третьем выражении у разности уменьшаемое больше вычитаемого (в скобках) и получившееся число после умножения на задуманное, должно быть меньше 1 000.

В четвёртом выражении сумма должна делиться на придуманный делитель, и полученное число должно быть меньше 1 000.

В пятом выражении у разности уменьшаемое больше вычитаемого (в скобках), результат разности, должен быть меньше 490.

В шестом выражении произведение должно быть меньше 540.

$570 - (\square + \square)$

Для решения этого выражения нужно подобрать два числа, сумма которых будет меньше 570. Для удобства вычислений возьмем числа, которые легко складывать и вычитать. Например, 200 и 70.

Подставим эти числа в выражение: $570 - (200 + 70)$.

Порядок действий: сначала выполняем действие в скобках (сложение), а затем вычитание.

1) $200 + 70 = 270$

2) $570 - 270 = 300$

Ответ: $570 - (200 + 70) = 300$.

$1000 - (\square - \square) \cdot \square$

Здесь нужно подобрать три числа. Результат вычитания в скобках умножается на третье число, и итоговое произведение вычитается из 1000. Возьмем числа 100, 50 и 10.

Подставим числа в выражение: $1000 - (100 - 50) \cdot 10$.

Порядок действий: сначала вычитание в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.

1) $100 - 50 = 50$

2) $50 \cdot 10 = 500$

3) $1000 - 500 = 500$

Ответ: $1000 - (100 - 50) \cdot 10 = 500$.

$490 - (\square - \square)$

Подберем два числа для вычитания в скобках. Их разность должна быть меньше 490. Возьмем, например, числа 200 и 100.

Подставим их в выражение: $490 - (200 - 100)$.

Сначала выполняем вычитание в скобках, а затем второе вычитание.

1) $200 - 100 = 100$

2) $490 - 100 = 390$

Ответ: $490 - (200 - 100) = 390$.

$\square + \square - 320$

Нужно подобрать два числа, сумма которых будет больше 320. Чтобы вычисления были проще, выберем числа 400 и 100. Их сумма — круглое число.

Подставляем числа в выражение: $400 + 100 - 320$.

Действия выполняются по порядку: сначала сложение, затем вычитание.

1) $400 + 100 = 500$

2) $500 - 320 = 180$

Ответ: $400 + 100 - 320 = 180$.

$1000 - (\square + \square) : \square$

Подберем три числа. Сумма первых двух в скобках должна делиться на третье число без остатка. Возьмем числа 500, 300 и 4.

Подставляем числа в выражение: $1000 - (500 + 300) : 4$.

Порядок действий: сначала сложение в скобках, затем деление, и в конце вычитание.

1) $500 + 300 = 800$

2) $800 : 4 = 200$

3) $1000 - 200 = 800$

Ответ: $1000 - (500 + 300) : 4 = 800$.

$540 - \square \cdot \square$

Нужно подобрать два числа, произведение которых меньше 540. Возьмем числа 50 и 8, так как их произведение — круглое число.

Подставляем числа в выражение: $540 - 50 \cdot 8$.

Сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1) $50 \cdot 8 = 400$

2) $540 - 400 = 140$

Ответ: $540 - 50 \cdot 8 = 140$.

Задание на полях страницы 55.

Для решения этой задачи необходимо составить и решить систему уравнений. Обозначим каждую геометрическую фигуру как неизвестную переменную:

• Синий треугольник: $T$
• Розовый квадрат: $S$
• Зеленый круг: $C$

На основе изображения можно составить следующие уравнения:

1. $30 + S = T$
2. $T - 18 = 50$
3. $S + C = T$

Теперь последовательно найдем значение каждой переменной.

^ ?

Проще всего начать со второго уравнения ($T - 18 = 50$), так как оно содержит только одну неизвестную, $T$.
Чтобы найти значение $T$, нужно к 50 прибавить 18:
$T = 50 + 18$
$T = 68$
Итак, синий треугольник равен 68.
Ответ: 68

¦ ?

Теперь, когда мы знаем значение $T$, мы можем найти значение $S$ из первого уравнения ($30 + S = T$).
Подставим известное значение $T = 68$ в уравнение:
$30 + S = 68$
Чтобы найти $S$, вычтем 30 из 68:
$S = 68 - 30$
$S = 38$
Таким образом, розовый квадрат равен 38.
Ответ: 38

? ?

Наконец, найдем значение $C$ из третьего уравнения ($S + C = T$), используя уже известные значения $T$ и $S$.
Подставим известные значения $S = 38$ и $T = 68$ в уравнение:
$38 + C = 68$
Чтобы найти $C$, вычтем 38 из 68:
$C = 68 - 38$
$C = 30$
Следовательно, зеленый круг равен 30.
Ответ: 30

1. Какие единицы используют для измерения длины? площади? времени? массы? Назови их, начиная с самой маленькой единицы, которую ты знаешь, и заканчивая самой большой.

1. Для измерения длины:

Миллиметры (мм), сантиметры (см), дециметры (дм), метры (м), километры (км).

Для измерения площади:

Квадратный миллиметр (мм²), квадратный сантиметр (см²), квадратный дециметр (дм²), квадратный метр (м²), квадратный километр (км²).

Для измерения времени:

Секунда (с), минута (мин), час (ч), сутки (сут.), неделя (нед.), месяц (мес.), год (г), столетие.

Для измерения массы:

Грамм (г), килограмм (кг), центнер (ц), тонна (т).

Длина

Для измерения длины используются различные единицы. Ниже приведен их перечень в порядке возрастания, от самой маленькой к самой большой: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м) и километр (км).

Основные соотношения между этими единицами:

$1 \text{ сантиметр (см)} = 10 \text{ миллиметрам (мм)}$

$1 \text{ дециметр (дм)} = 10 \text{ сантиметрам (см)}$

$1 \text{ метр (м)} = 10 \text{ дециметрам (дм)} = 100 \text{ сантиметрам (см)}$

$1 \text{ километр (км)} = 1000 \text{ метрам (м)}$

Ответ: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км).

Площадь

Для измерения площади используются квадратные единицы, производные от единиц длины. В порядке возрастания они располагаются так: квадратный миллиметр ($\text{мм}^2$), квадратный сантиметр ($\text{см}^2$), квадратный дециметр ($\text{дм}^2$), квадратный метр ($\text{м}^2$), ар (а), гектар (га) и квадратный километр ($\text{км}^2$). Единицу "ар" также часто называют "сотка".

Основные соотношения между единицами площади:

$1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$

$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$

$1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10000 \text{ см}^2$

$1 \text{ ар (а)} = 100 \text{ м}^2$

$1 \text{ гектар (га)} = 100 \text{ арам (а)} = 10000 \text{ м}^2$

$1 \text{ км}^2 = 100 \text{ гектарам (га)} = 1000000 \text{ м}^2$

Ответ: квадратный миллиметр ($\text{мм}^2$), квадратный сантиметр ($\text{см}^2$), квадратный дециметр ($\text{дм}^2$), квадратный метр ($\text{м}^2$), ар (а), гектар (га), квадратный километр ($\text{км}^2$).

Время

Для измерения времени используются следующие единицы, перечисленные в порядке увеличения продолжительности: секунда (с), минута (мин), час (ч), сутки, неделя, месяц, год и век (столетие).

Основные соотношения между единицами времени:

$1 \text{ минута (мин)} = 60 \text{ секунд (с)}$

$1 \text{ час (ч)} = 60 \text{ минут (мин)}$

$1 \text{ сутки} = 24 \text{ часа (ч)}$

$1 \text{ неделя} = 7 \text{ суток}$

$1 \text{ год} \approx 365 \text{ суток}$ (високосный год содержит 366 суток)

$1 \text{ век} = 100 \text{ лет}$

Ответ: секунда (с), минута (мин), час (ч), сутки, неделя, месяц, год, век.

Масса

Для измерения массы тел применяют следующие единицы, расположенные в порядке возрастания: миллиграмм (мг), грамм (г), килограмм (кг), центнер (ц) и тонна (т).

Основные соотношения между единицами массы:

$1 \text{ грамм (г)} = 1000 \text{ миллиграмм (мг)}$

$1 \text{ килограмм (кг)} = 1000 \text{ грамм (г)}$

$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ килограмм (кг)}$

$1 \text{ тонна (т)} = 10 \text{ центнерам (ц)} = 1000 \text{ килограмм (кг)}$

Ответ: миллиграмм (мг), грамм (г), килограмм (кг), центнер (ц), тонна (т).

2. Зачем нужны различные единицы для измерения одной величины?

2. Различные единицы для измерения одной величины нужны для удобства представления данных и вычислений.

Различные единицы для измерения одной и той же физической величины необходимы по нескольким ключевым причинам, которые делают измерения и расчеты более удобными, понятными и эффективными в разных ситуациях.

Удобство и масштаб

Это основная причина. Выбор единицы измерения зависит от масштаба измеряемого объекта или процесса. Использование подходящей единицы позволяет избежать слишком больших или слишком маленьких чисел, что упрощает их восприятие, запись и использование в расчетах.

• Длина: Для измерения расстояния между городами удобно использовать километры (км), а не метры или сантиметры. Например, сказать "расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга примерно 700 км" гораздо удобнее, чем "700 000 метров" или "70 000 000 сантиметров". С другой стороны, для измерения толщины листа бумаги или диаметра волоса используют микрометры (мкм) или миллиметры (мм), так как запись в метрах ($0.0001 \text{ м}$) была бы громоздкой.

• Время: Для измерения продолжительности спортивного забега на короткую дистанцию используют секунды (с) и даже миллисекунды (мс). Продолжительность урока измеряют в минутах (мин), а возраст человека — в годах. Использовать секунды для измерения возраста было бы крайне непрактично.

• Масса: Массу грузовика измеряют в тоннах (т), массу человека — в килограммах (кг), а массу лекарственного препарата в таблетке — в миллиграммах (мг).

Использование кратных и дольных единиц (кило-, милли-, микро- и т.д.) является основой Международной системы единиц (СИ) и позволяет легко масштабировать базовую единицу ($1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$, $1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$).

Исторические и культурные причины

Исторически в разных странах и культурах складывались свои собственные системы мер. Многие из них продолжают использоваться и сегодня, несмотря на широкое распространение метрической системы.

• Имперская система: В таких странах, как США, Великобритания и некоторых других, до сих пор широко используется имперская система мер: дюймы, футы, мили (для длины), фунты, унции (для массы), галлоны (для объема). Поэтому для международной торговли и коммуникации необходимо уметь переводить единицы из одной системы в другую.

• Традиционные единицы: Некоторые старинные единицы измерения сохранились в языке и культуре, например, в пословицах ("семь верст до небес и все лесом") или литературе.

Специализированные области применения

В некоторых профессиональных и научных сферах используются специфические единицы, которые наиболее удобны для конкретных задач.

• Астрономия: Расстояния между звездами и галактиками настолько велики, что использовать километры неудобно. Поэтому астрономы используют световые годы (расстояние, которое свет проходит за год) или парсеки (примерно $3.26$ светового года).

• Мореплавание и авиация: Скорость измеряется в узлах (одна морская миля в час), а расстояние — в морских милях. Это связано с удобством навигационных расчетов, так как одна морская миля примерно соответствует одной минуте дуги меридиана.

• Ювелирное дело: Масса драгоценных камней измеряется в каратах ($1 \text{ карат} = 0.2 \text{ грамма}$).

• Информатика: Объем информации измеряется в битах, байтах, килобайтах, мегабайтах и т.д., где каждая следующая единица кратна предыдущей (например, $1 \text{ Кбайт} = 1024 \text{ байт}$).

Таким образом, наличие различных единиц измерения для одной величины — это не избыточность, а мощный инструмент, обеспечивающий гибкость, удобство и точность в самых разных сферах человеческой деятельности, от повседневной жизни до передовых научных исследований.

Ответ: Различные единицы для измерения одной и той же величины нужны для удобства в зависимости от масштаба измеряемого объекта (например, километры для расстояний между городами и миллиметры для толщины листа), из-за исторических традиций (например, метрическая и имперская системы), а также для нужд специализированных областей (например, световые годы в астрономии или узлы в мореплавании), что позволяет сделать запись чисел компактной и наглядной.

3. Как можно найти периметр и площадь прямоугольника?

3. Для нахождения периметра прямоугольника нужно длину сложить с шириной и сумму умножить на 2 (потому что у прямоугольника противоположные стороны равны):

Р = (a + b) ∙ 2, где a и b – ширина и длина прямоугольника.

Для нахождения площади прямоугольника нужно длину умножить на ширину:

S = a ∙ b, где a и b – ширина и длина прямоугольника.

Для того чтобы найти периметр и площадь прямоугольника, необходимо знать длины его сторон. Обычно их называют длиной и шириной. Обозначим длину буквой `$a$`, а ширину — буквой `$b$`.

Как найти периметр прямоугольника

Периметр (`$P$`) — это сумма длин всех сторон фигуры. У прямоугольника четыре стороны, причём противоположные стороны равны. Это значит, что у него есть две стороны длиной `$a$` и две стороны длиной `$b$`. Чтобы найти периметр, нужно сложить длины всех этих сторон.

Формула для расчёта выглядит так: $P = a + b + a + b$.

Для удобства эту формулу можно упростить, сложив длину и ширину и умножив полученную сумму на два, так как каждая сторона повторяется дважды:

$P = 2 \cdot (a + b)$

Ответ: Чтобы найти периметр прямоугольника, нужно сложить его длину и ширину, а затем результат умножить на 2. Формула: $P = 2 \cdot (a + b)$.

Как найти площадь прямоугольника

Площадь (`$S$`) — это пространство, которое фигура занимает на плоскости. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно просто перемножить его длину на ширину.

Формула для расчёта площади:

$S = a \cdot b$

Площадь измеряется в квадратных единицах (например, квадратных сантиметрах $см^2$, квадратных метрах $м^2$ и т.д.).

Ответ: Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на его ширину. Формула: $S = a \cdot b$.

3. Начерти и вырежи 2 таких квадрата (1 и 2). Первый квадрат разрежь на части, как показано на рисунке. Из полученных треугольников и квадрата 2 сложи квадрат 3. Найди его площадь.

Чтобы найти площадь квадрата 3, необходимо понять, из чего он состоит. Согласно условию, квадрат 3 складывается из всех частей, полученных при разрезании квадрата 1, и целого квадрата 2. Это означает, что площадь итогового квадрата 3 будет равна сумме площадей квадратов 1 и 2. Для вычисления площадей будем считать, что сторона одной клетки на рисунке равна 1 условной единице.

Найдем площадь квадрата 1.

Сторона квадрата 1, которую обозначим как $a_1$, равна 4 клеткам. Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.
Площадь квадрата 1 ($S_1$) равна:
$S_1 = 4^2 = 16$ (квадратных единиц).

Найдем площадь квадрата 2.

Сторона квадрата 2, которую обозначим как $a_2$, равна 2 клеткам.
Площадь квадрата 2 ($S_2$) равна:
$S_2 = 2^2 = 4$ (квадратных единиц).

Найдем площадь квадрата 3.

Площадь квадрата 3 ($S_3$) является суммой площадей квадрата 1 и квадрата 2.
$S_3 = S_1 + S_2$
$S_3 = 16 + 4 = 20$ (квадратных единиц).

Ответ: Площадь квадрата 3 равна 20 квадратным единицам.

4. Начерти и вырежи такие же фигуры. Разрежь каждую из них на 2 такие части, которые при наложении совпадут.

Задача состоит в том, чтобы разделить каждую из двух фигур на две одинаковые (конгруэнтные) части. Это означает, что если вырезать эти две части, их можно будет наложить друг на друга так, чтобы они полностью совпали. Такое возможно, если исходная фигура обладает определённым видом симметрии.

Левая фигура

1. Анализ фигуры. Первая фигура представляет собой многоугольник, составленный из 12 единичных квадратов. Его общая площадь равна $12$ квадратным единицам. Чтобы разделить его на две равные части, каждая часть должна иметь площадь $12 / 2 = 6$ квадратных единиц.

2. Поиск симметрии. Фигура обладает центральной симметрией (или вращательной симметрией 2-го порядка). Это означает, что существует точка (центр симметрии), при повороте вокруг которой на $180^\circ$ фигура совпадает сама с собой. Любая линия, проходящая через этот центр, делит фигуру на две конгруэнтные части.

3. Нахождение центра и линии разреза. Примем левый нижний угол сетки за начало координат $(0,0)$. Тогда границы фигуры проходят через точки с координатами. Центр симметрии фигуры находится в точке $(2.5, 1.5)$. Самый простой способ разрезать фигуру — провести прямую линию через её вогнутые углы. Эти углы находятся в точках $(1, 1)$ и $(4, 2)$. Линия, соединяющая эти две точки, проходит точно через центр симметрии $(2.5, 1.5)$ и делит фигуру на две абсолютно одинаковые части.

4. Результат. После разреза по указанной линии получаются две части. Если одну из них повернуть на $180^\circ$ вокруг центра $(2.5, 1.5)$, она в точности совпадет с другой частью.

Ответ: Левую фигуру нужно разрезать по прямой линии, соединяющей её внутренние углы с координатами $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

Правая фигура

1. Анализ фигуры. Эта фигура сложнее, так как её контур включает диагональные линии. Площадь этой фигуры составляет $23.5$ квадратные единицы. Следовательно, каждая из двух равных частей должна иметь площадь $11.75$ квадратных единиц. Это говорит о том, что линия разреза будет проходить не только по границам клеток сетки.

2. Поиск симметрии. Как и первая фигура, эта также обладает центральной симметрией. Несмотря на сложную форму, можно найти центр, вокруг которого поворот на $180^\circ$ отображает фигуру на саму себя.

3. Нахождение центра и линии разреза. Примем левый нижний угол ограничивающего прямоугольника за точку $(0,0)$. Центр симметрии этой фигуры находится в точке $(3.5, 2)$. Это можно проверить, сопоставив симметричные точки контура: например, вершина $(0,0)$ симметрична вершине $(7,4)$, а вершина $(0,2)$ симметрична вершине $(7,2)$ относительно центра $(3.5, 2)$. Простейший разрез, который делит фигуру на две конгруэнтные части, — это прямая линия, проходящая через центр симметрии и соединяющая две симметричные точки на границе. В данном случае, это горизонтальная линия, соединяющая точки $(0,2)$ и $(7,2)$.

4. Результат. Разрез по прямой линии от точки $(0,2)$ до точки $(7,2)$ делит фигуру на "верхнюю" и "нижнюю" части. "Нижнюю" часть можно повернуть на $180^\circ$ вокруг точки $(3.5, 2)$, и она полностью совпадет с "верхней" частью.

Ответ: Правую фигуру нужно разрезать по горизонтальной прямой линии, соединяющей точки контура с координатами $(0, 2)$ и $(7, 2)$.

5. Рассмотри чертёж. Начерти такие же узоры. Раскрась один из них. Сколько осей симметрии у первой фигуры?

Начерти такие же узоры

Для построения этих узоров на бумаге в клетку понадобятся циркуль и линейка. Ниже приведены инструкции по созданию каждого узора.

Инструкция для первого узора:
1. Выберите точку пересечения линий сетки в качестве центра и начертите окружность радиусом 4 клетки.
2. От центральной точки отложите по 2 клетки вверх, вниз, влево и вправо. Эти 4 точки будут центрами для следующих окружностей.
3. Из каждой из этих 4 точек начертите окружность радиусом 2 клетки. Все они пройдут через центр основной фигуры.
4. Пересекающиеся в центре части этих окружностей образуют цветок с четырьмя лепестками.

Инструкция для второго узора:
1. Из одной центральной точки начертите две концентрические окружности: внутреннюю с радиусом 2 клетки и внешнюю с радиусом 4 клетки.
2. На внутренней окружности отметьте 8 равноудаленных точек: четыре на пересечении с горизонтальной/вертикальной осями и четыре на пересечении с основными диагоналями.
3. Используя эти 8 точек как центры, начертите 8 окружностей, каждая радиусом 2 клетки. Их пересечение образует в центре цветок с восемью лепестками.

Инструкция для третьего узора:
Этот узор является усложненной версией второго. В его основе лежит та же конструкция из 8 пересекающихся окружностей, создающая сложный центральный орнамент, который затем вписывается в две большие концентрические окружности.

Раскрась один из них

После того как узоры начерчены, можно раскрасить один из них, чтобы рисунок выглядел завершенным. Например, в первом узоре можно раскрасить центральный цветок одним цветом (на рисунке — розовый), а четыре сегмента у внешней окружности — другим (голубой). Во втором узоре можно использовать три цвета: два чередующихся для лепестков цветка (красный и синий) и третий для кольца между внешними окружностями (розовый).

Сколько осей симметрии у первой фигуры?

Ось симметрии — это воображаемая линия, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Если сложить фигуру по этой линии, обе половинки совпадут.
У первой фигуры есть четыре оси симметрии:
- Горизонтальная ось, проходящая через центр.
- Вертикальная ось, проходящая через центр.
- Две диагональные оси, проходящие через центр под углом 45° к горизонтали (их можно описать уравнениями $y=x$ и $y=-x$).
Любая из этих четырех линий делит фигуру на две зеркально-симметричные части. Это свойство сохраняется и для контура, и для раскрашенного узора, показанного на картинке.
Ответ: 4.