Страница 57, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

13. 1) Верно ли утверждение: «Если значение каждого слагаемого суммы 36 + 44 увеличить в 20 раз, то и значение суммы увеличится в 20 раз»? Дай ответ и подтверди его.

2) Как изменится значение произведения 15 · 10, если первый множитель увеличить в 4 раза, а второй оставить без изменения? Подтверди ответ вычислениями.

1)

Да, это утверждение верно. Подтвердим это вычислениями.

1. Найдем значение первоначальной суммы:
$36 + 44 = 80$

2. Увеличим каждое слагаемое в 20 раз и найдем их новую сумму:
Новые слагаемые: $36 \cdot 20 = 720$ и $44 \cdot 20 = 880$.
Новая сумма: $720 + 880 = 1600$.

3. Проверим, действительно ли новая сумма в 20 раз больше исходной. Для этого разделим новую сумму на исходную:
$1600 \div 80 = 20$.

Результат деления равен 20, что подтверждает утверждение. Это также следует из распределительного свойства умножения: $a \cdot k + b \cdot k = (a + b) \cdot k$. В нашем случае: $(36 \cdot 20) + (44 \cdot 20) = (36 + 44) \cdot 20$.

Ответ: да, утверждение верно.

2)

Чтобы узнать, как изменится значение произведения, подтвердим ответ вычислениями.

1. Найдем значение исходного произведения:
$15 \cdot 10 = 150$

2. Увеличим первый множитель, 15, в 4 раза, а второй множитель, 10, оставим без изменений:
Новый первый множитель: $15 \cdot 4 = 60$.

3. Вычислим новое произведение:
$60 \cdot 10 = 600$

4. Чтобы определить, во сколько раз изменилось произведение, разделим новое значение на исходное:
$600 \div 150 = 4$

Следовательно, значение произведения увеличилось в 4 раза. Это следует из сочетательного свойства умножения: $(a \cdot k) \cdot b = (a \cdot b) \cdot k$.

Ответ: значение произведения увеличится в 4 раза.

986 · 134

Для решения этого примера выполним умножение в столбик. Сначала умножаем 986 на 4, затем на 3 и на 1, записывая результаты со сдвигом. В конце складываем полученные числа.

 ?986 134 ---- 3944 2958 986------132124

Ответ: $132124$

701 · 235

Выполним умножение в столбик:

 ?701 235 ---- 3505 21031402------164735

Ответ: $164735$

809 · 350

Чтобы умножить на число, оканчивающееся нулем, можно выполнить умножение, не обращая внимания на нуль, а затем приписать его к результату.

1. Умножим 809 на 35 в столбик:

 ?809 35 ---- 4045 2427------ 28315

2. Припишем нуль к результату: $283150$.

Ответ: $283150$

406 · 502

Выполним умножение в столбик. При умножении на 0 во втором шаге можно пропустить строку или заполнить ее нулями.

 ?406 502 ---- 812 000 2030------ 203812

Ответ: $203812$

34 · (120 - 3920 : 70)

Решим пример по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), а потом умножение.

1) Первое действие — деление в скобках: $3920 : 70 = 392 : 7 = 56$.

2) Второе действие — вычитание в скобках: $120 - 56 = 64$.

3) Третье действие — умножение: $34 \cdot 64 = 2176$.

Ответ: $2176$

(110 - 3420 : 90) · 25

Решим по действиям: сначала деление в скобках, потом вычитание, и в конце — умножение.

1) Деление в скобках: $3420 : 90 = 342 : 9 = 38$.

2) Вычитание в скобках: $110 - 38 = 72$.

3) Умножение: $72 \cdot 25$. Можно умножить 72 на 100 и разделить на 4: $72 \cdot 100 = 7200$, $7200 : 4 = 1800$.

Ответ: $1800$

15. Выполни деление с остатком.

448 : 10

Чтобы выполнить деление с остатком, нужно найти наибольшее число, которое делится на 10 без остатка и не превышает 448. Это число 440.
Найдем неполное частное, разделив 440 на 10:
$440 : 10 = 44$.

Теперь найдем остаток, вычтя из делимого 448 полученное число 440:
$448 - 440 = 8$.

Остаток $8$ меньше делителя $10$, значит, деление выполнено верно.
Проверка: $44 \cdot 10 + 8 = 440 + 8 = 448$.

Ответ: $448 : 10 = 44$ (ост. 8).

683 : 10

Найдем наибольшее число, которое делится на 10 без остатка и не превышает 683. Это число 680.
Найдем неполное частное:
$680 : 10 = 68$.

Найдем остаток:
$683 - 680 = 3$.

Остаток $3$ меньше делителя $10$.
Проверка: $68 \cdot 10 + 3 = 680 + 3 = 683$.

Ответ: $683 : 10 = 68$ (ост. 3).

367 : 80

Чтобы найти неполное частное, подберем число, при умножении которого на 80 получится результат, максимально близкий к 367, но не превышающий его. Для этого можно разделить 36 на 8. Получится 4.
Проверим: $80 \cdot 4 = 320$.
Следующее число: $80 \cdot 5 = 400$ (это больше, чем 367).
Значит, неполное частное равно 4.

Найдем остаток, вычтя из делимого произведение неполного частного и делителя:
$367 - 320 = 47$.

Остаток $47$ меньше делителя $80$.
Проверка: $4 \cdot 80 + 47 = 320 + 47 = 367$.

Ответ: $367 : 80 = 4$ (ост. 47).

421 : 50

Подберем неполное частное. Для этого можно разделить 42 на 5. Получится 8.
Проверим: $50 \cdot 8 = 400$.
Следующее число: $50 \cdot 9 = 450$ (это больше, чем 421).
Неполное частное равно 8.

Найдем остаток:
$421 - 400 = 21$.

Остаток $21$ меньше делителя $50$.
Проверка: $8 \cdot 50 + 21 = 400 + 21 = 421$.

Ответ: $421 : 50 = 8$ (ост. 21).

293 : 70

Подберем неполное частное. Для этого можно разделить 29 на 7. Получится 4.
Проверим: $70 \cdot 4 = 280$.
Следующее число: $70 \cdot 5 = 350$ (это больше, чем 293).
Неполное частное равно 4.

Найдем остаток:
$293 - 280 = 13$.

Остаток $13$ меньше делителя $70$.
Проверка: $4 \cdot 70 + 13 = 280 + 13 = 293$.

Ответ: $293 : 70 = 4$ (ост. 13).

16. Составь и реши задачи по данным о животных (с. 81).

Для выполнения этого задания необходимы данные о животных со страницы 81, которые отсутствуют на предоставленном изображении. Поэтому невозможно составить и решить задачи по исходным данным.

Ниже представлен пример выполнения задания с использованием гипотетических (вымышленных) данных, чтобы продемонстрировать ход решения.

Предположим, что данные о массе животных следующие:

• Медведь: 600 кг
• Лось: 400 кг
• Волк: 50 кг
• Заяц: 5 кг

На основе этих данных составим и решим несколько задач.

Задача 1

На сколько килограммов лось тяжелее волка?

Решение:

Чтобы найти, на сколько килограммов одно животное тяжелее другого, необходимо из большей массы вычесть меньшую.

Масса лося составляет 400 кг.

Масса волка составляет 50 кг.

Выполним вычитание: $400 - 50 = 350$ (кг).

Ответ: лось тяжелее волка на 350 кг.

Задача 2

Во сколько раз медведь тяжелее зайца?

Решение:

Чтобы узнать, во сколько раз масса одного животного больше массы другого, нужно большую массу разделить на меньшую.

Масса медведя — 600 кг.

Масса зайца — 5 кг.

Выполним деление: $600 : 5 = 120$ (раз).

Ответ: медведь тяжелее зайца в 120 раз.

Задача 3

Какова общая масса волка и зайца? На сколько эта масса меньше массы лося?

Решение:

Эта задача состоит из двух действий. Сначала найдем общую массу волка и зайца, а затем сравним её с массой лося.

1. Находим общую массу волка и зайца, сложив их массы:

Масса волка — 50 кг.

Масса зайца — 5 кг.

$50 + 5 = 55$ (кг) — общая масса волка и зайца.

2. Теперь находим, на сколько их общая масса меньше массы лося. Для этого из массы лося вычтем найденную общую массу:

Масса лося — 400 кг.

$400 - 55 = 345$ (кг).

Ответ: общая масса волка и зайца составляет 55 кг; эта масса на 345 кг меньше массы лося.

17. Прочитай задачи. Чем задачи похожи? Чем различаются? Реши задачи. Чем похожи решения задач? Чем различаются?

1) На фабрику по изготовлению фруктового сока привезли 18 одинаковых по массе коробок зелёного винограда и 12 таких же коробок чёрного винограда. Сколько килограммов винограда каждого сорта привезли, если зелёного винограда было на 228 кг больше, чем чёрного?

2) На фабрику по изготовлению фруктового сока привезли в одинаковых по массе коробках 684 кг зелёного винограда и 456 кг чёрного в таких же коробках. Сколько коробок винограда каждого сорта привезли, если коробок с зелёным виноградом было на 6 больше, чем с чёрным?

Сходства и различия задач:
Чем похожи: Обе задачи про зелёный и чёрный виноград, который привезли на фабрику в одинаковых по массе коробках. В обеих задачах фигурируют одни и те же величины: масса одной коробки, количество коробок и общая масса винограда каждого сорта. Сюжет и действующие объекты одинаковы.
Чем различаются: Задачи являются взаимно обратными. В первой задаче известны количество коробок и разница в общей массе, а найти нужно общую массу каждого сорта. Во второй задаче, наоборот, известны общие массы и разница в количестве коробок, а найти нужно количество коробок каждого сорта. То, что является данным в одной задаче, является искомым в другой.

1)

Для решения задачи сначала найдём разницу в количестве коробок зелёного и чёрного винограда. Эта разница и создаёт различие в массе.
1. На сколько коробок с зелёным виноградом больше, чем с чёрным?
$18 - 12 = 6$ (коробок) — разница в количестве.
2. Согласно условию, эти 6 коробок весят 228 кг. Найдём массу одной коробки винограда.
$228 \div 6 = 38$ (кг) — масса одной коробки.
3. Теперь вычислим общую массу зелёного винограда.
$18 \times 38 = 684$ (кг) — масса зелёного винограда.
4. Вычислим общую массу чёрного винограда.
$12 \times 38 = 456$ (кг) — масса чёрного винограда.
Проверим: $684 - 456 = 228$ (кг). Разница в массе совпадает с условием.

Ответ: привезли 684 кг зелёного винограда и 456 кг чёрного винограда.

2)

Для решения этой задачи сначала найдём разницу в массе привезённого винограда. Эта разница приходится на дополнительное количество коробок с зелёным виноградом.
1. На сколько килограммов зелёного винограда привезли больше, чем чёрного?
$684 - 456 = 228$ (кг) — разница в массе.
2. По условию, разница в количестве коробок составляет 6. Значит, 228 кг — это масса 6 коробок. Найдём массу одной коробки.
$228 \div 6 = 38$ (кг) — масса одной коробки.
3. Теперь, зная массу одной коробки, найдём количество коробок с зелёным виноградом.
$684 \div 38 = 18$ (коробок) — с зелёным виноградом.
4. Найдём количество коробок с чёрным виноградом.
$456 \div 38 = 12$ (коробок) — с чёрным виноградом.
Проверим: $18 - 12 = 6$ (коробок). Разница в количестве совпадает с условием.

Ответ: привезли 18 коробок зелёного винограда и 12 коробок чёрного винограда.

Сходства и различия решений:
Чем похожи: Решения похожи тем, что ключевым шагом в обеих задачах является нахождение массы одной коробки ($38$ кг). Этот шаг выполняется одинаково: разница в общей массе делится на разницу в количестве коробок ($228 \div 6$).
Чем различаются: Решения различаются последующими действиями. В первой задаче, чтобы найти итоговую массу, мы умножаем найденную массу одной коробки на известное количество коробок. Во второй задаче, чтобы найти итоговое количество коробок, мы делим известную общую массу на найденную массу одной коробки. То есть используются разные арифметические действия (умножение в первой, деление во второй) для получения конечного ответа.

18. Реши уравнения.

$x - 12 = 0$

В данном уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (0) прибавить вычитаемое (12).

$x = 0 + 12$

$x = 12$

Проверка: $12 - 12 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $x=12$.

$25 + x = 25$

Здесь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (25) вычесть известное слагаемое (25).

$x = 25 - 25$

$x = 0$

Проверка: $25 + 0 = 25$. Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

$x : 108 = 1$

В этом уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, необходимо частное (1) умножить на делитель (108).

$x = 1 \cdot 108$

$x = 108$

Проверка: $108 : 108 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x=108$.

$y : 1 = 37$

Здесь $y$ — неизвестное делимое. Чтобы найти делимое, нужно частное (37) умножить на делитель (1).

$y = 37 \cdot 1$

$y = 37$

Проверка: $37 : 1 = 37$. Равенство верное.

Ответ: $y=37$.

$x \cdot 15 = 0$

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $15 \neq 0$, то $x$ должен быть равен нулю. Также можно найти неизвестный множитель, разделив произведение (0) на известный множитель (15).

$x = 0 : 15$

$x = 0$

Проверка: $0 \cdot 15 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

$x \cdot 18 = 18$

Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (18) разделить на известный множитель (18).

$x = 18 : 18$

$x = 1$

Проверка: $1 \cdot 18 = 18$. Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

19. Начерти и вырежи 4 квадрата со стороной 4 см. Составь из них 2 разных прямоугольника и найди периметр и площадь каждого из них.

По условию задачи, у нас есть 4 квадрата со стороной 4 см каждый. Из них нужно составить два разных прямоугольника и найти периметр и площадь каждого.

Первый прямоугольник

Первый прямоугольник можно получить, если выложить все 4 квадрата в один длинный ряд.
Длина этого прямоугольника (обозначим ее a) будет равна сумме длин сторон четырех квадратов: $a = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$.
Ширина (обозначим ее b) будет равна стороне одного квадрата: $b = 4 \text{ см}$.

Теперь вычислим периметр и площадь этого прямоугольника.
Периметр находим по формуле $P = 2 \times (a+b)$:
$P_1 = 2 \times (16 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 20 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Площадь находим по формуле $S = a \times b$:
$S_1 = 16 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: для первого прямоугольника периметр равен 40 см, а площадь — 64 см?.

Второй прямоугольник

Второй прямоугольник можно получить, если расположить квадраты в виде сетки 2 на 2. В результате получится большой квадрат, который является частным случаем прямоугольника.
Длина и ширина этого нового квадрата будут равны, так как с каждой стороны мы соединили по два малых квадрата: $a = b = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Теперь вычислим периметр и площадь этой фигуры.
Периметр находим по формуле для квадрата $P = 4 \times a$:
$P_2 = 4 \times 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$.

Площадь находим по формуле для квадрата $S = a^2$:
$S_2 = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: для второго прямоугольника периметр равен 32 см, а площадь — 64 см?.

20. Рассмотри чертёж и выпиши названия всех треугольников с общей стороной АС; ВС.

Для ответа на этот вопрос необходим чертёж, который не предоставлен. Однако, можно предположить наиболее стандартную для таких задач конфигурацию: дан большой треугольник, который разделен на два меньших треугольника отрезком, проведенным из одной из вершин. Допустим, у нас есть треугольник $\triangle ABC$, и из вершины $C$ проведен отрезок $CD$ к точке $D$, которая лежит на стороне $AB$. В этом случае на чертеже будут три треугольника: $\triangle ADC$, $\triangle BDC$ и исходный большой треугольник $\triangle ABC$.

Исходя из этого предположения, мы можем найти все треугольники с указанными общими сторонами.

AC

Необходимо найти все треугольники, одной из сторон которых является отрезок $AC$.

1. Треугольник $\triangle ADC$. Его стороны — $AD$, $DC$ и $AC$. Таким образом, он имеет сторону $AC$.
2. Треугольник $\triangle ABC$. Его стороны — $AB$, $BC$ и $AC$. Таким образом, он также имеет сторону $AC$.

Других треугольников, содержащих сторону $AC$, в данной конфигурации нет.

Ответ: $\triangle ADC, \triangle ABC$.

BC

Аналогично найдём все треугольники, одной из сторон которых является отрезок $BC$.

1. Треугольник $\triangle BDC$. Его стороны — $BD$, $DC$ и $BC$. Таким образом, он имеет сторону $BC$.
2. Треугольник $\triangle ABC$. Его стороны — $AB$, $BC$ и $AC$. Таким образом, он также имеет сторону $BC$.

Других треугольников, содержащих сторону $BC$, в данной конфигурации нет.

Ответ: $\triangle BDC, \triangle ABC$.

21. 1) Объясни, почему на 2 делится без остатка любое число, в записи которого последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.

2) Какой должна быть последняя цифра в записи числа, которое делится без остатка на 5?

1) Любое натуральное число можно представить в виде суммы двух слагаемых: числа, которое оканчивается на 0 (то есть числа десятков), и последней цифры (числа единиц). Например, число 348 можно записать как $340 + 8$. В общем виде любое число $N$ можно записать как $N = 10 \cdot A + d_0$, где $d_0$ — это последняя цифра числа, а $A$ — это число, образованное всеми цифрами, кроме последней.

Первое слагаемое в этой сумме, $10 \cdot A$, всегда делится на 2 без остатка, потому что множитель 10 делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$). Значит, $10 \cdot A = 2 \cdot 5 \cdot A$, что очевидно делится на 2.

Чтобы вся сумма $10 \cdot A + d_0$ делилась на 2, необходимо, чтобы и второе слагаемое, $d_0$, тоже делилось на 2. Цифры, которые делятся на 2 без остатка, — это 0, 2, 4, 6 и 8. Такие числа называются четными.

Таким образом, если последняя цифра числа — 0, 2, 4, 6 или 8, то все число делится на 2 без остатка.

Ответ: Любое число можно представить в виде суммы числа десятков (которое всегда делится на 2) и числа единиц (последней цифры). Чтобы вся сумма делилась на 2, последняя цифра также должна делиться на 2. Этому условию удовлетворяют цифры 0, 2, 4, 6 и 8.

2) Для определения признака делимости на 5 воспользуемся тем же принципом. Представим любое число $N$ в виде суммы $N = 10 \cdot A + d_0$, где $d_0$ — последняя цифра.

Чтобы число $N$ делилось на 5, сумма $10 \cdot A + d_0$ должна делиться на 5. Первое слагаемое, $10 \cdot A$, всегда делится на 5 без остатка, так как множитель 10 делится на 5 ($10 = 5 \cdot 2$).

Следовательно, чтобы вся сумма делилась на 5, второе слагаемое, $d_0$ (последняя цифра), также должно делиться на 5. Среди цифр от 0 до 9 на 5 без остатка делятся только две: 0 ($0 : 5 = 0$) и 5 ($5 : 5 = 1$).

Ответ: Последняя цифра в записи числа, которое делится без остатка на 5, должна быть 0 или 5.

НАЙДИ ЛИШНЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ:

240 : 2
360 : 3
600 : 5
120 · 1
480 : 4
720 : 6
1200 : 10

Чтобы найти лишнее выражение, необходимо проанализировать все представленные примеры по какому-либо общему признаку. В данном случае можно сравнить их по двум параметрам: по результату вычислений и по типу используемой математической операции.

Шаг 1. Вычисление значений выражений

Сначала найдём значение каждого из представленных математических выражений:

• $240 : 2 = 120$
• $360 : 3 = 120$
• $600 : 5 = 120$
• $120 \cdot 1 = 120$
• $480 : 4 = 120$
• $720 : 6 = 120$
• $1200 : 10 = 120$

Результаты всех вычислений одинаковы и равны 120. Это означает, что по своему значению выражения не отличаются, и этот признак не помогает найти лишнее.

Шаг 2. Анализ математических операций

Теперь сравним выражения по типу используемого математического действия:

• $240 : 2$ — операция деления
• $360 : 3$ — операция деления
• $600 : 5$ — операция деления
• $120 \cdot 1$ — операция умножения
• $480 : 4$ — операция деления
• $720 : 6$ — операция деления
• $1200 : 10$ — операция деления

Как видно из анализа, шесть выражений из семи содержат операцию деления, и только одно выражение, $120 \cdot 1$, содержит операцию умножения. Именно по этому признаку оно и является лишним в данном списке.

Ответ: Лишним является выражение $120 \cdot 1$.