Страница 60, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

Свойства сложения.

Переместительное свойство сложения:

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

a + b = b + a

Сочетательное свойство сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a + b) + c = a + (b + c)

При сложении нескольких чисел, их можно объединять в группы и переставлять в любом порядке.

Например: a + b + с = (a + b) + c = a + (b + c).

987600 + 2561 + 34017 + 78

В тексте задания напоминается о свойствах сложения (переместительном и сочетательном), которые позволяют группировать слагаемые для упрощения вычислений. В данном случае наиболее удобным методом будет сложение чисел в столбик, которое как раз и основано на этих свойствах, так как мы отдельно складываем цифры в каждом разряде.

Выполним сложение по разрядам, начиная с самого младшего (единиц):
1. Разряд единиц: $0 + 1 + 7 + 8 = 16$. Пишем 6, а 1 переносим в следующий разряд (десятков).
2. Разряд десятков: $0 + 6 + 1 + 7 + 1$ (из переноса) $= 15$. Пишем 5, а 1 переносим в разряд сотен.
3. Разряд сотен: $6 + 5 + 0 + 1$ (из переноса) $= 12$. Пишем 2, а 1 переносим в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: $7 + 2 + 4 + 1$ (из переноса) $= 14$. Пишем 4, а 1 переносим в разряд десятков тысяч.
5. Разряд десятков тысяч: $8 + 3 + 1$ (из переноса) $= 12$. Пишем 2, а 1 переносим в разряд сотен тысяч.
6. Разряд сотен тысяч: $9 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем 0, а 1 переносим в разряд миллионов.
7. Разряд миллионов: 1 (из переноса).
Соединив все полученные цифры, получаем результат.

Ответ: 1024256

20008 - 763

Выполним вычитание в столбик. Запишем числа так, чтобы разряды находились друг под другом.

Выполним вычитание по разрядам, начиная с единиц:
1. Разряд единиц: $8 - 3 = 5$.
2. Разряд десятков: от 0 нельзя отнять 6. Необходимо "занять" единицу у старшего разряда. Так как в разрядах сотен и тысяч стоят нули, занимаем у 2 в разряде десятков тысяч. Тогда в разряде десятков у нас будет 10. $10 - 6 = 4$.
3. Разряд сотен: после того как мы "заняли" для младших разрядов, в разряде сотен осталось 9. $9 - 7 = 2$.
4. Разряд тысяч: в этом разряде также осталось 9. $9 - 0 = 9$.
5. Разряд десятков тысяч: от 2 мы "заняли" 1, поэтому осталась 1. $1 - 0 = 1$.
Соединив все полученные цифры, получаем результат.

Ответ: 19245

264. (Устно.) Вычисли наиболее лёгким способом.

Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трёхзначных чисел.

Объясни, как выполнено сложение и вычитание.

264. Используя сочетательное свойство сложения (при сложении нескольких чисел, их можно объединять в группы и переставлять в любом порядке), вычислим устно.

2 + 96 + 98 + 904 = (2 + 98) + (96 + 904) = 100 + 1000 = 1100;

257 + 18 + 12 + 3 + 40 = (257 + 3) + (18 + 12) + 40 = 260 + 30 + 40 = (260 + 40) + 30 = 300 + 30 = 330;

48 + 530 + 70 + 52 = (48 + 52) + (530 + 70) = 100 + 600 = 700;

33 + 34 + 35 + 36 + 37 = (33 + 37) + (34 + 36) + 35 = 70 + 70 + 35 = 140 + 35 = 175.

Устные объяснения:

При записи столбиком сложения и вычитания чисел с большим количеством разрядов пользуются правилом: единицы записываются под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы тысяч под единицами тысяч и так далее.

3 126 + 4 292

Записываем разряды под разрядами и приступаем к сложению.

Складываем единицы: 6 + 2 = 8. Записываем 8 единиц под единицами.

Складываем десятки: 2 + 9 = 11. 11 десятков – это 1 сотня и 1 десяток. Пишем 1 под десятками, а 1 сотню запоминаем.

Складываем сотни: 1 + 2 = 3, да еще 1 сотня, которую запоминали 3 + 1 = 4. 4 сотни пишем под сотнями.

Складываем единицы тысяч: 3 + 4 = 7. 7 единиц тысяч пишем под единицами тысяч.

Читаем ответ: семь тысяч четыреста восемнадцать.

25 346 − 3 407

Записываем разряды под разрядами.

Вычитаем единицы: из 6 нельзя вычесть 7. Занимаем десяток (ставим точку, чтобы не забыть об этом). 1 десяток и 6 единиц – это 16 единиц. 16 − 7 = 9. 9 единиц пишем под единицами.

Вычитаем десятки: было 4 десятка, один занимали, осталось 3. 3 − 0 = 3. Пишу 3 под десятками.

Вычитаем сотни: из 3 сотен нельзя вычесть 4 сотни. Занимаем 1 единицу тысяч (ставим точку, чтобы не забыть об этом). 1 единица тысяч и 3 сотни – это 13 сотен. 13 − 4 = 9. Пишу 9 под сотнями.

Вычитаем единицы тысяч: было 5, занимали 1 единицу тысяч, осталось 4. 4 − 3 = 1. Пишу 1 под единицами тысяч.

Вычли всё число, поэтому десятки тысяч сносим в ответ. Читаем ответ: двадцать одна тысяча девятьсот тридцать девять.

264. (Устно.) Вычисли наиболее лёгким способом.

2 + 96 + 98 + 904
Для наиболее простого вычисления сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа. Сложим 2 и 98, а также 96 и 904.
$(2 + 98) + (96 + 904) = 100 + 1000 = 1100$
Ответ: 1100

48 + 530 + 70 + 52
Сгруппируем слагаемые 48 и 52, а также 530 и 70.
$(48 + 52) + (530 + 70) = 100 + 600 = 700$
Ответ: 700

257 + 18 + 12 + 3 + 40
Сгруппируем 257 и 3, а также 18 и 12.
$(257 + 3) + (18 + 12) + 40 = 260 + 30 + 40 = 330$
Ответ: 330

33 + 34 + 35 + 36 + 37
Сгруппируем первое и последнее слагаемые, а также второе и предпоследнее. Среднее число 35 останется без пары.
$(33 + 37) + (34 + 36) + 35 = 70 + 70 + 35 = 140 + 35 = 175$
Ответ: 175

Объяснение, как выполнено сложение и вычитание

Письменное сложение и вычитание многозначных чисел (в столбик) выполняется поразрядно, справа налево, начиная с самого младшего разряда — единиц.

Сложение 3126 + 4292

1. Единицы: складываем $6$ и $2$. $6 + 2 = 8$. Пишем $8$ в разряд единиц ответа.

2. Десятки: складываем $2$ и $9$. $2 + 9 = 11$. $11$ десятков – это $1$ сотня и $1$ десяток. Пишем $1$ в разряд десятков ответа, а $1$ сотню запоминаем (переносим в следующий разряд).

3. Сотни: складываем $1$ и $2$, и прибавляем $1$ из переноса. $1 + 2 + 1 = 4$. Пишем $4$ в разряд сотен.

4. Тысячи: складываем $3$ и $4$. $3 + 4 = 7$. Пишем $7$ в разряд тысяч.

Ответ: 7418

Вычитание 25346 – 3407

1. Единицы: из $6$ вычесть $7$ нельзя. Занимаем $1$ десяток у $4$ десятков (остаётся $3$ десятка). Получаем $10 + 6 = 16$. Вычитаем: $16 - 7 = 9$. Пишем $9$ в разряд единиц ответа.

2. Десятки: вычитаем из оставшихся $3$ десятков. $3 - 0 = 3$. Пишем $3$ в разряд десятков.

3. Сотни: из $3$ вычесть $4$ нельзя. Занимаем $1$ тысячу у $5$ тысяч (остаётся $4$ тысячи). Получаем $10 + 3 = 13$ сотен. Вычитаем: $13 - 4 = 9$. Пишем $9$ в разряд сотен.

4. Тысячи: вычитаем из оставшихся $4$ тысяч. $4 - 3 = 1$. Пишем $1$ в разряд тысяч.

5. Десятки тысяч: из $2$ вычитать нечего ($2-0=2$), поэтому просто переносим $2$ в ответ.

Ответ: 21939

265. Объясни, что означают записи в рамках на полях.

265. Записи в рамках на полях обозначают:

1) b + 0 = b обозначает, что если к любому числу прибавить 0, то получится это же число.

2) 0 + c = c обозначает, что если к нулю прибавить любое число, то получится прибавленное число.

3) a – 0 = a обозначает, что если из любого числа вычесть 0, то получится это же число.

4) k – k = 0 обозначает, что если из любого числа вычесть себя же, то получится 0.

Записи в рамках на полях обычно обозначают важные правила или свойства, которые нужно запомнить. Скорее всего, речь идет об основных свойствах арифметических действий, которые выражаются с помощью буквенных формул.

Переместительное свойство сложения

Эта запись выглядит как $a + b = b + a$. Она означает, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Это свойство позволяет менять числа местами при сложении для удобства вычислений. Например, найти сумму $15 + 89 + 85$ удобнее, если сначала сложить $15$ и $85$, а потом прибавить $89$: $(15 + 85) + 89 = 100 + 89 = 189$.

Ответ: Запись $a + b = b + a$ — это переместительное свойство сложения, которое утверждает, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых.

Сочетательное свойство сложения

Эта запись выглядит как $(a + b) + c = a + (b + c)$. Она означает, что при сложении трех и более чисел неважно, в каком порядке их группировать (выполнять сложение). Можно сначала сложить первые два числа, а потом к результату прибавить третье, или же сначала сложить второе и третье числа, а потом к первому прибавить их сумму. Результат будет одинаковым. Например, $(12 + 7) + 3 = 19 + 3 = 22$, и в то же время $12 + (7 + 3) = 12 + 10 = 22$.

Ответ: Запись $(a + b) + c = a + (b + c)$ — это сочетательное свойство сложения, которое позволяет группировать слагаемые произвольным образом.

Переместительное свойство умножения

Эта запись выглядит как $a \cdot b = b \cdot a$. Она означает, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Как и в случае со сложением, это свойство помогает упрощать вычисления. Например, $25 \cdot 19 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900$.

Ответ: Запись $a \cdot b = b \cdot a$ — это переместительное свойство умножения, утверждающее, что результат умножения не зависит от порядка множителей.

Сочетательное свойство умножения

Эта запись выглядит как $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Она означает, что при умножении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Результат от этого не изменится. Например, $(5 \cdot 6) \cdot 2 = 30 \cdot 2 = 60$, и в то же время $5 \cdot (6 \cdot 2) = 5 \cdot 12 = 60$.

Ответ: Запись $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ — это сочетательное свойство умножения, которое позволяет группировать множители произвольным образом.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Эта запись выглядит как $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ или $c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$. Она показывает, как умножить сумму на число. Для этого нужно умножить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. Это свойство очень важно и часто используется для раскрытия скобок и вынесения общего множителя за скобки. Например, $7 \cdot (10 + 4) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 4 = 70 + 28 = 98$.

Ответ: Запись $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ — это распределительное свойство умножения, которое связывает операции сложения и умножения.

265. Вычисли, записывая решение столбиком, и проверь сложение вычитанием, а вычитание сложением.

266. Надо вспомнить, как проверить сложение и вычитание:

Чтобы проверить сложение, надо из суммы вычесть одно из слагаемых: если получится другое слагаемое, то вычисления выполнены правильно, если не получится — в вычислениях есть ошибка.

Чтобы проверить вычитание, надо вычитаемое и разность сложить, если получится уменьшаемое, то вычисления выполнены правильно, если не получится — в вычислениях есть ошибка.

Проверка сложение вычитанием:

Проверка вычитания сложением:

528 047 + 106 875
Выполним сложение в столбик:
528047
+
106875
634922
Проверим сложение вычитанием:
634922
-
106875
528047
Ответ: $634 922$.

385 746 + 23 352
Выполним сложение в столбик:
385746
+
23352
409098
Проверим сложение вычитанием:
409098
-
23352
385746
Ответ: $409 098$.

680 708 + 21 926
Выполним сложение в столбик:
680708
+
21926
702634
Проверим сложение вычитанием:
702634
-
21926
680708
Ответ: $702 634$.

320 260 – 21 476
Выполним вычитание в столбик:
320260
-
21476
298784
Проверим вычитание сложением:
298784
+
21476
320260
Ответ: $298 784$.

605 209 – 353 672
Выполним вычитание в столбик:
605209
-
353672
251537
Проверим вычитание сложением:
251537
+
353672
605209
Ответ: $251 537$.

304 506 – 91 358
Выполним вычитание в столбик:
304506
-
91358
213148
Проверим вычитание сложением:
213148
+
91358
304506
Ответ: $213 148$.

267. В соревнованиях участвовало 18 семей, состоящих из 3 человек, и 16 семей, состоящих из 4 человек. Сколько это всего человек?

267. Для наглядности запишем кратко в таблице:

Пояснение:

Для того чтобы узнать, сколько это всего человек, нужно сложить количество человек из семей по 3 человека и количество человек из семей по 4 человека. Найдём сначала эти значения.

Вспомни соотношение К₁ К ОК.

К₁ = ОК : К; К = ОК : К₁; ОК = К₁ ∙ К.

Чтобы найти, количество всех человек из семей по 3 человека (общее количество (ОК), нужно количество человек в 1 семье (К₁) умножить на количество семей (К). Так же найдём и количество всех человек из семей по 4 человека.

Затем результаты сложим.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 3 ∙ 18 = 54 (чел.) – в 18 семьях.
2) 4 ∙ 16 = 64 (чел.) – в 16 семьях.
3) 54 + 64 = 118 (чел.)
Ответ: 118 человек всего.

Решение задачи можно записать выражением:

3 ∙ 18 + 4 ∙ 16 = 118 (чел.)
Ответ: 118 человек всего.

Для решения задачи необходимо найти общее количество человек, участвовавших в соревнованиях. Для этого выполним несколько шагов.

1. Найдем количество человек в семьях, состоящих из 3 человек.

В соревнованиях участвовало 18 семей по 3 человека в каждой. Чтобы найти общее число участников из этих семей, нужно умножить количество семей на количество человек в каждой:

$18 \times 3 = 54$ (человека)

2. Найдем количество человек в семьях, состоящих из 4 человек.

Также в соревнованиях участвовало 16 семей по 4 человека в каждой. Рассчитаем общее число участников из этих семей:

$16 \times 4 = 64$ (человека)

3. Найдем общее количество участников соревнований.

Теперь сложим количество человек из первой и второй группы, чтобы найти общее число всех участников:

$54 + 64 = 118$ (человек)

Ответ: всего в соревнованиях участвовало 118 человек.

268. После того как школьникам было выдано 327 книг, в библиотеке осталось на 246 книг меньше, чем было выдано. Сколько всего книг в библиотеке?

268. Запишем условие задачи кратко.

Пояснение:

Для того чтобы узнать, сколько всего книг в библиотеке, нужно сложить книги, которые выдали, и книги, которые остались в библиотеке. Но мы не знаем, сколько осталось в библиотеке. Найдём это значение вычитанием (так как осталось на 246 книг меньше) первым действием и затем ответим на вопрос задачи.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 327 − 246 = 81 (кн.) – осталась.
2) 327 + 81 = 408 (кн.)
Ответ: 408 книг было в библиотеке.

Решение задачи можно записать выражением:

327 + (327 – 246) = 408 (кн.)
Ответ: 408 книг было в библиотеке.

Чтобы найти общее количество книг в библиотеке, необходимо сначала определить, сколько книг осталось после выдачи, а затем сложить это количество с количеством выданных книг.

1. Найдем количество книг, оставшихся в библиотеке.

Из условия задачи известно, что было выдано 327 книг. Оставшихся книг было на 246 меньше, чем выдано. Следовательно, чтобы найти количество оставшихся книг, нужно из количества выданных вычесть 246.

$327 - 246 = 81$ (книга)

Таким образом, в библиотеке осталась 81 книга.

2. Найдем общее количество книг в библиотеке.

Общее количество книг равно сумме выданных и оставшихся книг. Сложим количество выданных книг (327) и количество оставшихся книг (81).

$327 + 81 = 408$ (книг)

Ответ: всего в библиотеке 408 книг.

269. Составь задачу по выражению 100 − (68 + 14).

269. Задача.

В автопарке было 100 машин. Из них 68 грузовых машин, 14 легковых, а остальные – автобусы. Сколько автобусов было в автопарке?

Запишем условие задачи кратко.

Пояснение:

Для того чтобы узнать, сколько автобусов было в автопарке, нужно от всех машин, которые были в автопарке, вычесть легковые и грузовые машины. Но мы не знаем, сколько всего легковых и грузовых машин было в автопарке. Это значение находим первым действием. Затем отвечаем на вопрос задачи.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

100 − (68 + 14) = 18 (авт.)
Ответ: 18 автобусов было в автопарке.

Для выражения $100 - (68 + 14)$ можно составить следующую задачу. Выражение показывает, что из начального количества (100) вычитается сумма двух других чисел (68 и 14). Это может быть задача на нахождение остатка.

Условие задачи: На туристическую базу привезли 100 кг овощей. В первый день повара использовали 68 кг овощей для приготовления обеда, а во второй день — 14 кг. Сколько килограммов овощей осталось на туристической базе?

Для решения этой задачи необходимо выполнить действия в том же порядке, что и в заданном выражении.

1. Сначала найдем, сколько всего килограммов овощей израсходовали за два дня. Для этого сложим массу овощей, использованных в первый и второй дни. Это действие соответствует вычислению в скобках.

$68 + 14 = 82$ (кг) — овощей израсходовали за два дня.

2. Теперь найдем, сколько килограммов овощей осталось. Для этого из первоначального количества овощей вычтем то количество, которое было израсходовано за два дня.

$100 - 82 = 18$ (кг) — овощей осталось на базе.

Таким образом, решение задачи можно записать одним числовым выражением: $100 - (68 + 14) = 100 - 82 = 18$.

Ответ: 18 кг овощей.

270. (Устно.)

270. Вспомним правила:

При вычитании 1, получаем число, предшествующее данному. При прибавлении 1 получаем число, следующее за данным.

999 + 1
Прибавление единицы к числу 999 означает нахождение следующего за ним натурального числа. Число 999 является самым большим трехзначным числом. Следующее за ним число — это наименьшее четырехзначное число, то есть 1000.
$999 + 1 = 1000$
Ответ: 1000

1 000 - 1
Вычитание единицы из числа 1 000 означает нахождение предыдущего натурального числа. Число 1 000 является наименьшим четырехзначным числом. Предыдущее число — это самое большое трехзначное число, то есть 999.
$1000 - 1 = 999$
Ответ: 999

4 000 - 1
Чтобы вычесть единицу из 4 000, можно представить это число как сумму $3000 + 1000$. Затем из 1000 вычитаем 1, что дает 999, и прибавляем к оставшимся 3000.
$4000 - 1 = 3000 + (1000 - 1) = 3000 + 999 = 3999$
Ответ: 3999

10 000 - 1
При вычитании единицы из числа 10 000 мы получаем предыдущее по порядку натуральное число. 10 000 — это наименьшее пятизначное число. Предыдущее число — это самое большое четырехзначное число, то есть 9 999.
$10000 - 1 = 9999$
Ответ: 9999

9 999 + 1
При прибавлении единицы к числу 9 999 мы получаем следующее по порядку натуральное число. 9 999 — это самое большое четырехзначное число. Следующее за ним число — это наименьшее пятизначное число, то есть 10 000.
$9999 + 1 = 10000$
Ответ: 10000

99 999 + 1
К самому большому пятизначному числу 99 999 прибавляем единицу. В результате получаем следующее натуральное число, которое является наименьшим шестизначным числом.
$99999 + 1 = 100000$
Ответ: 100000

50 000 - 1
Чтобы вычесть единицу из 50 000, можно "занять" единицу у старшего разряда. Представим 50 000 как $40000 + 10000$. Затем из 10 000 вычитаем 1, что дает 9 999, и прибавляем к оставшимся 40 000.
$50000 - 1 = 40000 + (10000 - 1) = 40000 + 9999 = 49999$
Ответ: 49999

80 000 - 1
Чтобы вычесть единицу из 80 000, действуем аналогично предыдущему примеру. Представим 80 000 как $70000 + 10000$.
$80000 - 1 = 70000 + (10000 - 1) = 70000 + 9999 = 79999$
Ответ: 79999

900 000 - 1
Для вычитания единицы из 900 000 представим это число как $800000 + 100000$. Вычитание производится из последнего слагаемого.
$900000 - 1 = 800000 + (100000 - 1) = 800000 + 99999 = 899999$
Ответ: 899999

1 050 − 50 35 840 − 840 20 000 + 800

Задание внизу страницы 60.

1050 − 50 = 1000
35840 − 840 = 35000
20000 + 800 = 20800

1 050 – 50
Чтобы найти разность, вычтем 50 из 1050. Число 1050 состоит из 1000 и 50. Если из 1050 вычесть 50, то останется 1000.
$1050 - 50 = 1000$
Ответ: 1000

20 000 + 800
Чтобы найти сумму, сложим 20 000 и 800. К двадцати тысячам нужно прибавить восемьсот. В числе 20 000 на месте сотен, десятков и единиц стоят нули. При сложении с 800, эти нули заменятся на 8, 0 и 0 соответственно.
$20000 + 800 = 20800$
Ответ: 20800

35 840 – 840
Чтобы найти разность, вычтем 840 из 35 840. Можно представить число 35 840 как сумму 35 000 и 840. Тогда, вычитая 840, мы получим ровно 35 000.
$35840 - 840 = 35000$
Ответ: 35000

При делении с остатком на двузначное число рассуждают так же, как и при делении без остатка. Объясни, как выполнено деление с остатком.

Деление с остатком выполняется в несколько шагов: сначала подбирается неполное частное, затем оно умножается на делитель, и полученное произведение вычитается из делимого, чтобы найти остаток. Главное правило: остаток всегда должен быть меньше делителя.

324 : 62

1. Подбор неполного частного. Чтобы найти, сколько раз число 62 помещается в числе 324, можно использовать метод оценки. Округлим делитель 62 до 60. Разделим 324 на 60 (или 32 на 6), получим примерно 5. Число 5 — это пробное неполное частное.

2. Умножение. Умножим неполное частное на делитель, чтобы узнать, какое число мы вычтем из делимого: $5 \cdot 62 = 310$.

3. Нахождение остатка. Вычтем полученное произведение из делимого: $324 - 310 = 14$.

4. Проверка. Сравним остаток с делителем: $14 < 62$. Так как остаток меньше делителя, деление выполнено верно.

Ответ: 5 (ост. 14).

526 : 74

1. Подбор неполного частного. Оценим, сколько раз 74 содержится в 526. Округлим 74 до 70. Разделим 526 на 70 (или 52 на 7). Получаем примерно 7. Возьмем 7 как пробное неполное частное.

2. Умножение. Проверим наше предположение: $7 \cdot 74 = 518$.

3. Нахождение остатка. Найдем разницу между делимым и полученным произведением: $526 - 518 = 8$.

4. Проверка. Сравним остаток 8 с делителем 74: $8 < 74$. Остаток меньше делителя, значит, неполное частное найдено правильно.

Ответ: 7 (ост. 8).

793 : 83

1. Подбор неполного частного. Чтобы разделить 793 на 83, оценим частное. Округлим 83 до 80. Разделим 793 на 80 (или 79 на 8). Получим примерно 9.

2. Умножение. Проверим, подходит ли 9: $9 \cdot 83 = 747$.

3. Нахождение остатка. Вычтем результат из делимого: $793 - 747 = 46$.

4. Проверка. Убедимся, что остаток меньше делителя: $46 < 83$. Условие выполняется, деление завершено корректно.

Ответ: 9 (ост. 46).

226. Найди частное и остаток, проверь решение.

156 : 48

Чтобы найти частное и остаток при делении 156 на 48, нужно определить, сколько раз число 48 целиком помещается в числе 156. Сделаем это методом подбора.
$48 \times 1 = 48$
$48 \times 2 = 96$
$48 \times 3 = 144$
$48 \times 4 = 192$ (это уже больше, чем 156).
Таким образом, неполное частное равно 3.
Теперь найдем остаток, вычтя из делимого произведение частного на делитель: $156 - 144 = 12$.
Остаток (12) меньше делителя (48), следовательно, деление с остатком выполнено верно.
Проверка:
Для проверки правильности решения нужно частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток. Должно получиться исходное делимое.
$3 \times 48 + 12 = 144 + 12 = 156$.
$156 = 156$. Решение верное.

Ответ: частное 3, остаток 12.

278 : 62

Найдем, сколько раз 62 помещается в 278.
$62 \times 3 = 186$
$62 \times 4 = 248$
$62 \times 5 = 310$ (больше, чем 278).
Неполное частное равно 4.
Вычислим остаток: $278 - 248 = 30$.
Остаток (30) меньше делителя (62), значит, всё правильно.
Проверка:
$4 \times 62 + 30 = 248 + 30 = 278$.
$278 = 278$. Решение верное.

Ответ: частное 4, остаток 30.

346 : 56

Найдем, сколько раз 56 помещается в 346.
$56 \times 5 = 280$
$56 \times 6 = 336$
$56 \times 7 = 392$ (больше, чем 346).
Неполное частное равно 6.
Вычислим остаток: $346 - 336 = 10$.
Остаток (10) меньше делителя (56).
Проверка:
$6 \times 56 + 10 = 336 + 10 = 346$.
$346 = 346$. Решение верное.

Ответ: частное 6, остаток 10.

445 : 73

Найдем, сколько раз 73 помещается в 445.
$73 \times 5 = 365$
$73 \times 6 = 438$
$73 \times 7 = 511$ (больше, чем 445).
Неполное частное равно 6.
Вычислим остаток: $445 - 438 = 7$.
Остаток (7) меньше делителя (73).
Проверка:
$6 \times 73 + 7 = 438 + 7 = 445$.
$445 = 445$. Решение верное.

Ответ: частное 6, остаток 7.

227. Космонавты были в полёте 290 ч. Сколько это суток и часов?

Для того чтобы перевести общее количество часов в сутки и часы, нужно вспомнить, сколько часов в одних сутках.

В 1 сутках содержится 24 часа.

Чтобы найти, сколько полных суток содержится в 290 часах, необходимо разделить 290 на 24. Целая часть от этого деления будет количеством суток, а остаток — количеством часов.

Выполним деление с остатком:

$290 \div 24 = 12$ (остаток $2$)

Это происходит потому, что $12 \times 24 = 288$, и до 290 не хватает еще 2 часов: $290 - 288 = 2$.

Таким образом, 290 часов — это 12 полных суток и еще 2 часа.

Ответ: 12 суток и 2 часа.

228. Площадь первого участка 120 м², второго 160 м². При одинаковой норме высева на 1 м² на первом участке высеяли семян ржи на 1 кг меньше, чем на втором. Объясни, что означают выражения.

С помощью какого выражения можно узнать норму высева семян на 1 м²?

Для решения задачи проанализируем каждое выражение. В условии сказано, что на первом участке высеяли на 1 кг семян меньше. Переведем килограммы в граммы, чтобы использовать число 1000 из выражений: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

160 – 120

Это выражение находит разницу между площадью второго участка ($160 \text{ м}^2$) и площадью первого участка ($120 \text{ м}^2$). Результат показывает, на сколько квадратных метров второй участок больше первого.

$160 \text{ м}^2 - 120 \text{ м}^2 = 40 \text{ м}^2$.

Ответ: разница в площади между вторым и первым участками в квадратных метрах.

1 000 : (160 – 120)

Разница в массе высеянных семян составляет $1000 \text{ г}$. Эта разница приходится на разницу в площади участков, которую мы нашли в предыдущем действии ($40 \text{ м}^2$). Разделив разницу в массе семян на разницу в площади, мы узнаем, сколько граммов семян требуется для засева 1 м? площади. Это и есть норма высева.

$1000 \text{ г} : (160 \text{ м}^2 - 120 \text{ м}^2) = 1000 \text{ г} : 40 \text{ м}^2 = 25 \text{ г/м}^2$.

Ответ: норма высева семян ржи в граммах на 1 м?.

1 000 : (160 – 120) · 160

В этом выражении сначала вычисляется норма высева на 1 м? ($1000 : (160 - 120)$). Затем полученный результат (норма высева) умножается на площадь второго участка ($160 \text{ м}^2$). Таким образом, мы находим общую массу семян в граммах, которая была высеяна на втором участке.

$(1000 : 40) \cdot 160 = 25 \text{ г/м}^2 \cdot 160 \text{ м}^2 = 4000 \text{ г}$ (или 4 кг).

Ответ: общая масса семян ржи в граммах, высеянных на втором участке.

С помощью какого выражения можно узнать норму высева семян на 1 м??

Как было объяснено выше, чтобы найти норму высева на 1 м?, нужно общую разницу в массе семян разделить на разницу в площади. Этому действию соответствует второе выражение.

Ответ: $1000 : (160 – 120)$.

229. В международном автопробеге участвовало 350 машин. Экипаж каждой машины состоял из трёх спортсменов. До финиша не дошли 105 машин. Сколько машин и сколько спортсменов прибыли к финишу?

Сколько машин прибыли к финишу?

Чтобы найти количество машин, которые прибыли к финишу, нужно из общего количества машин, участвовавших в гонке, вычесть количество машин, которые не смогли финишировать.

Общее количество машин, участвовавших в автопробеге: 350.

Количество машин, не дошедших до финиша: 105.

Выполним вычитание:

$350 - 105 = 245$ (машин)

Ответ: к финишу прибыли 245 машин.

Сколько спортсменов прибыли к финишу?

Мы уже знаем, что до финиша доехали 245 машин. В условии сказано, что экипаж каждой машины состоял из трёх спортсменов. Чтобы найти общее количество спортсменов, прибывших к финишу, нужно количество финишировавших машин умножить на количество спортсменов в одном экипаже.

Количество финишировавших машин: 245.

Количество спортсменов в экипаже одной машины: 3.

Выполним умножение:

$245 \times 3 = 735$ (спортсменов)

Ответ: к финишу прибыли 735 спортсменов.

230. Составь по заданиям уравнения и реши их.

1. Какое число надо уменьшить на 28, чтобы получить число, равное сумме чисел 58 и 37?
2. Какое число надо увеличить в 8 раз, чтобы получить число, равное произведению чисел 80 и 12?
3. Какое число надо уменьшить в 28 раз, чтобы получить число, равное разности чисел 300 и 203?

1) Какое число надо уменьшить на 28, чтобы получить число, равное сумме чисел 58 и 37?
Обозначим искомое число переменной $x$. По условию задачи, если уменьшить это число на 28, то получится сумма чисел 58 и 37. Составим уравнение:
$x - 28 = 58 + 37$
Сначала вычислим сумму в правой части уравнения:
$58 + 37 = 95$
Теперь наше уравнение выглядит так:
$x - 28 = 95$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое ($x$), нужно к разности (95) прибавить вычитаемое (28):
$x = 95 + 28$
$x = 123$
Проверка: $123 - 28 = 95$ и $58 + 37 = 95$. Равенство верно.
Ответ: 123

2) Какое число надо увеличить в 8 раз, чтобы получить число, равное произведению чисел 80 и 12?
Пусть искомое число — это $x$. Если увеличить его в 8 раз, мы получим $x \cdot 8$. Этот результат должен быть равен произведению чисел 80 и 12. Составим уравнение:
$x \cdot 8 = 80 \cdot 12$
Вычислим произведение в правой части:
$80 \cdot 12 = 960$
Получаем более простое уравнение:
$x \cdot 8 = 960$
Чтобы найти неизвестный множитель ($x$), нужно произведение (960) разделить на известный множитель (8):
$x = 960 : 8$
$x = 120$
Проверка: $120 \cdot 8 = 960$ и $80 \cdot 12 = 960$. Равенство верно.
Ответ: 120

3) Какое число надо уменьшить в 28 раз, чтобы получить число, равное разности чисел 300 и 203?
Обозначим искомое число через $x$. Уменьшение числа в 28 раз означает деление его на 28, то есть $x : 28$. Результат этого действия равен разности чисел 300 и 203. Составим уравнение:
$x : 28 = 300 - 203$
Найдем значение разности в правой части:
$300 - 203 = 97$
Теперь уравнение имеет вид:
$x : 28 = 97$
Чтобы найти неизвестное делимое ($x$), нужно частное (97) умножить на делитель (28):
$x = 97 \cdot 28$
$x = 2716$
Проверка: $2716 : 28 = 97$ и $300 - 203 = 97$. Равенство верно.
Ответ: 2716

231. Вычисли.

384 : 96

Для решения этого примера на деление подберем частное. Можно заметить, что делитель 96 близок к 100, а делимое 384 близко к 400. Если разделить 400 на 100, получится 4. Проверим, подходит ли число 4.
Для этого умножим 96 на 4:
$96 \cdot 4 = (90 + 6) \cdot 4 = 90 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = 360 + 24 = 384$.
Результат совпал с делимым, значит, деление выполнено верно.
Ответ: 4

192 : 48

Для решения этого примера на деление также воспользуемся методом подбора. Делитель 48 близок к 50, а делимое 192 близко к 200. Разделим 200 на 50, получим 4. Проверим эту догадку.
Умножим 48 на 4:
$48 \cdot 4 = (40 + 8) \cdot 4 = 40 \cdot 4 + 8 \cdot 4 = 160 + 32 = 192$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.
Ответ: 4

648 : 72

Чтобы найти частное, обратим внимание на последние цифры. Делимое 648 оканчивается на 8, а делитель 72 — на 2. Нужно найти число, которое при умножении на 2 дает в конце 8. Это могут быть 4 ($2 \cdot 4 = 8$) или 9 ($2 \cdot 9 = 18$).
Оценим порядок чисел: $72 \approx 70$. $70 \cdot 9 = 630$, что близко к 648. Проверим число 9.
$72 \cdot 9 = (70 + 2) \cdot 9 = 70 \cdot 9 + 2 \cdot 9 = 630 + 18 = 648$.
Значение найдено правильно.
Ответ: 9

352 · 46 – 5 840 : 80

В данном выражении необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Первое действие — умножение $352 \cdot 46$. Выполним его в столбик:
352 ? 46 ------ 2112 +1408 ------ 16192
Результат умножения: $16192$.
2. Второе действие — деление $5840 : 80$. Можно упростить, убрав по одному нулю у делимого и делителя:
$5840 : 80 = 584 : 8 = 73$.
3. Третье действие — вычитание. Из результата первого действия вычитаем результат второго:
$16192 - 73 = 16119$.
Ответ: 16119

232. Найди значения выражений 360 : с и 360 · с, если с = 1; с = 3; с = 4; с = 6; с = 10.

Наблюдай, как при этом изменяется частное, как изменяется произведение.

Для решения задачи необходимо подставить каждое из предложенных значений переменной c в выражения $360 : c$ и $360 \cdot c$ и выполнить вычисления.

c = 1

Подставляем значение $c=1$ в выражения:

$360 : c = 360 : 1 = 360$

$360 \cdot c = 360 \cdot 1 = 360$

Ответ: 360 и 360.

c = 3

Подставляем значение $c=3$ в выражения:

$360 : c = 360 : 3 = 120$

$360 \cdot c = 360 \cdot 3 = 1080$

Ответ: 120 и 1080.

c = 4

Подставляем значение $c=4$ в выражения:

$360 : c = 360 : 4 = 90$

$360 \cdot c = 360 \cdot 4 = 1440$

Ответ: 90 и 1440.

c = 6

Подставляем значение $c=6$ в выражения:

$360 : c = 360 : 6 = 60$

$360 \cdot c = 360 \cdot 6 = 2160$

Ответ: 60 и 2160.

c = 10

Подставляем значение $c=10$ в выражения:

$360 : c = 360 : 10 = 36$

$360 \cdot c = 360 \cdot 10 = 3600$

Ответ: 36 и 3600.

Наблюдение за изменением частного и произведения

Проанализируем, как изменяются результаты вычислений при последовательном увеличении значения переменной c (1, 3, 4, 6, 10).

1. Частное (результат деления $360 : c$): При увеличении делителя c, значение частного уменьшается. Ряд значений частного: 360, 120, 90, 60, 36. Это пример обратной зависимости: чем больше число, на которое мы делим, тем меньше результат.

2. Произведение (результат умножения $360 \cdot c$): При увеличении множителя c, значение произведения также увеличивается. Ряд значений произведения: 360, 1080, 1440, 2160, 3600. Это пример прямой зависимости: чем больше один из множителей, тем больше результат умножения.

233. Выложи из палочек такую фигуру. Какие углы в этой фигуре? Переложи 4 палочки так, чтобы получилось два остроугольных треугольника. Будут ли эти треугольники равнобедренными? равносторонними?

Поскольку в условии задачи не приведено изображение исходной фигуры, мы будем исходить из наиболее распространенного варианта для такого типа головоломок. Начальная фигура, которую нужно выложить из палочек, — это «домик», состоящий из квадрата и треугольника на его верхней стороне. Предполагается, что все палочки имеют одинаковую длину. Для построения такой фигуры понадобится 6 палочек: 4 для квадрата и 3 для треугольника, у которых одна сторона общая ($4 + 3 - 1 = 6$).

Исходная фигура выглядит так:

 /\ / \ /____\ | | |____| 

Для анализа углов будем считать, что палочки одинаковой длины. Это означает, что квадрат составлен из четырех палочек, а треугольник на крыше — равносторонний.

• Углы внутри квадрата все прямые, то есть равны $90^\circ$.
• Углы внутри равностороннего треугольника все равны $60^\circ$.

Рассмотрим внутренние углы получившейся пятиугольной фигуры («домика»):

• Два нижних угла фигуры совпадают с нижними углами квадрата, они равны $90^\circ$.
• Верхний угол фигуры — это верхний угол треугольника, он равен $60^\circ$.
• Два боковых угла, где «крыша» соединяется со «стенами», являются суммой угла квадрата и угла треугольника: $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Ответ: Внутренние углы фигуры равны $60^\circ$, $150^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $150^\circ$.

У нас есть 6 палочек. Нам нужно, передвинув 4 из них, получить два остроугольных треугольника. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). Самый простой пример остроугольного треугольника — равносторонний, у которого все углы по $60^\circ$.

Из 6 палочек можно сложить два отдельных равносторонних треугольника. Для каждого потребуется по 3 палочки.

Процесс перекладывания:

1. Начнем с исходной фигуры «домик». В ней 6 палочек. Оставим на месте две любые палочки, например, левую стенку и нижнее основание.

    | |____ 

2. Оставшиеся 4 палочки (две палочки крыши, правая стенка и верхнее основание квадрата) мы должны переложить. Возьмем одну из убранных палочек и достроим первый треугольник, используя две оставленные палочки.

    / \ / \ /_____\ 

3. У нас осталось 3 свободные палочки. Из них мы можем сложить второй равносторонний треугольник рядом.

В результате мы получаем следующую конфигурацию из двух отдельных треугольников, использовав все 6 палочек и переложив 4 из них.

 /\ /\ / \ / \ /____\ /____\ 

Ответ: Нужно разобрать почти всю фигуру, оставив две смежные палочки, и из всех 6 палочек сложить два отдельных равносторонних треугольника.

Поскольку все палочки по условию имеют одинаковую длину, то каждый из двух полученных треугольников составлен из трех одинаковых палочек.

• Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Следовательно, полученные треугольники являются равносторонними.
• Треугольник, у которого хотя бы две стороны равны, называется равнобедренным. Равносторонний треугольник подходит под это определение (у него равны не просто две, а все три стороны). Таким образом, любой равносторонний треугольник является также и равнобедренным.

Ответ: Да, эти треугольники будут и равносторонними, и равнобедренными.

ЦЕПОЧКА:

Данная задача представляет собой цепочку последовательных арифметических вычислений. Для её решения необходимо выполнить каждое действие по порядку, используя результат предыдущего шага в качестве исходного числа для следующего.

1. Первое действие

Начальное число — 420. Первое действие — вычитание 75.

$420 - 75 = 345$

Ответ: 345

2. Второе действие

К результату первого действия (345) необходимо прибавить 55.

$345 + 55 = 400$

Ответ: 400

3. Третье действие

Полученное число (400) нужно разделить на 8.

$400 : 8 = 50$

Ответ: 50

4. Четвертое действие

Результат третьего действия (50) умножаем на 90.

$50 \cdot 90 = 4500$

Ответ: 4500

Таким образом, выполнив все действия в указанном порядке, мы получаем конечный результат 4500, что соответствует числу в конце цепочки на изображении.

399 : 57

Чтобы найти частное от деления 399 на 57, можно использовать метод подбора. Для этого оценим, на какое число нужно умножить 57, чтобы получить 399.
Поскольку делитель 57 оканчивается на 7, а делимое 399 оканчивается на 9, искомое число должно при умножении на 7 давать число с 9 на конце. Из таблицы умножения мы знаем, что $7 \times 7 = 49$. Поэтому, вероятнее всего, частное равно 7.
Выполним проверку умножением:
$57 \times 7 = 399$
Расчет: $(50 + 7) \times 7 = 50 \times 7 + 7 \times 7 = 350 + 49 = 399$.
Результат совпал, следовательно, деление выполнено верно.

Ответ: 7

236 : 59

Для решения этого примера разделим 236 на 59.
Округлим делитель 59 до 60 и делимое 236 до 240 для приблизительной оценки.
$240 : 60 = 4$.
Проверим, является ли 4 правильным ответом, умножив 59 на 4:
$59 \times 4 = 236$
Расчет: $(60 - 1) \times 4 = 60 \times 4 - 1 \times 4 = 240 - 4 = 236$.
Делимое совпало с результатом умножения, значит, ответ верный.

Ответ: 4

475 : 95

Найдем частное от деления 475 на 95.
Оба числа, и делимое, и делитель, оканчиваются на 5. Можно предположить, что частное равно 5, так как при умножении $5 \times 5$ получается число 25, которое также оканчивается на 5.
Проверим это предположение:
$95 \times 5 = 475$
Расчет: $(100 - 5) \times 5 = 100 \times 5 - 5 \times 5 = 500 - 25 = 475$.
Результат проверки подтверждает, что частное равно 5.

Ответ: 5

609 ? 27 - 4320 : 60

Данное выражение содержит несколько действий. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Первое действие — умножение:
$609 \times 27 = 16443$.
Можно вычислить в столбик:
$609 \times 7 = 4263$
$609 \times 20 = 12180$
$4263 + 12180 = 16443$

2. Второе действие — деление:
$4320 : 60$.
Это то же самое, что и $432 : 6$.
$432 : 6 = 72$.

3. Третье действие — вычитание:
Из результата первого действия вычитаем результат второго.
$16443 - 72 = 16371$.

Ответ: 16371