Номер 10, страница 45, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 15. Деление на двузначное и трёхзначное число. Часть 1 - номер 10, страница 45.

Условие.

10 Расшифруй запись $ \ast \ast \ast + \ast \ast \ast = \ast \ast \ast \ast $, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяются, если прочитать их справа налево.

Решение.

Решение 2.

Заданный ребус представляет собой сумму двух трехзначных чисел, в результате которой получается четырехзначное число: $*** + *** = ****$. По условию, оба слагаемых и сумма являются палиндромами, то есть числами, которые читаются одинаково слева направо и справа налево.

Представим эту запись в виде $АВА + СDС = EFFE$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ – это цифры от 0 до 9. Так как $АВА$ и $СDС$ – трехзначные числа, то $А \ne 0$ и $С \ne 0$. Так как $EFFE$ – четырехзначное число, то $E \ne 0$.

Начнем анализ с разряда тысяч. Сумма двух любых трехзначных чисел не может быть больше, чем $999 + 999 = 1998$. Это означает, что первая цифра суммы, $E$, может быть только $1$. Таким образом, $E = 1$, а сумма имеет вид $1FF1$.

Теперь рассмотрим разряд единиц. Сложение в этом разряде дает: $А + С$. Результат должен оканчиваться на цифру $E$, то есть на $1$. Поскольку $А$ и $С$ – первые цифры трехзначных чисел, они не равны нулю. Следовательно, их сумма не может быть равна $1$. Значит, $А + С = 11$. При этом из разряда единиц в разряд десятков переносится $1$.

Перейдем к разряду сотен. Сложение в этом разряде выглядит так: $А + С + p = 10 + F$, где $p$ – это перенос из разряда десятков. Так как мы уже знаем, что $А + С = 11$, получаем: $11 + p = 10 + F$. Упростив, находим связь между $F$ и переносом $p$: $F = 1 + p$.

Наконец, рассмотрим разряд десятков. Сложение в нем: $B + D + 1 = F + 10 \cdot p$ (здесь $1$ – это перенос из разряда единиц, а $p$ – перенос в разряд сотен). Подставим в это уравнение выражение для $F$, которое мы нашли ранее ($F = 1 + p$):
$B + D + 1 = (1 + p) + 10 \cdot p$
$B + D = 11 \cdot p$

Перенос $p$ из одного разряда в другой при сложении двух чисел может быть равен только $0$ или $1$ (так как максимальная сумма в разряде десятков $9 + 9 + 1 = 19$, что дает перенос $1$). Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Перенос $p = 0$.
Если $p = 0$, то из уравнения $B + D = 11 \cdot p$ следует, что $B + D = 0$. Так как цифры $B$ и $D$ не могут быть отрицательными, единственное решение – $B = 0$ и $D = 0$.
В этом случае $F = 1 + p = 1 + 0 = 1$.
Сумма $1FF1$ становится $1111$. Нам остается подобрать слагаемые $А0А$ и $С0С$ так, чтобы $А + С = 11$.
Примеры таких решений:
$202 + 909 = 1111$
$303 + 808 = 1111$
$404 + 707 = 1111$
$505 + 606 = 1111$

Случай 2: Перенос $p = 1$.
Если $p = 1$, то $B + D = 11 \cdot 1 = 11$.
В этом случае $F = 1 + p = 1 + 1 = 2$.
Сумма $1FF1$ становится $1221$. Нам нужно подобрать цифры $А, С$ так, чтобы $А + С = 11$, и цифры $B, D$ так, чтобы $B + D = 11$.
Примеры таких решений:
$232 + 989 = 1221$
$323 + 898 = 1221$
$474 + 747 = 1221$
$565 + 656 = 1221$

Таким образом, задача имеет множество решений, которые можно разделить на два типа.
Ответ: Примеры решений первого типа: $202 + 909 = 1111$, $303 + 808 = 1111$. Примеры решений второго типа: $232 + 989 = 1221$, $474 + 747 = 1221$.