Номер 3, страница 27, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 7. Транспортир. Часть 3 - номер 3, страница 27.

Условие.

3 а) Измерь углы четырёхугольника и найди их сумму:

$\angle A = $

$\angle B = $

$\angle C = $

$\angle D = $

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = $

б) Начерти в тетради произвольный четырёхугольник FKME и найди сумму его углов. Что ты наблюдаешь? Сделай вывод.

Почему пока полученный вывод нельзя считать доказанным для всех четырёхугольников?

в) В четырёхугольнике ABCD проведи диагональ AC. Сколько треугольников получилось? Дополни общее высказывание и обоснуй его:

Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырехугольника равна __________.

Решение.

Решение 2.

а) Измерь углы четырёхугольника и найди их сумму:

Для измерения углов четырёхугольника ABCD на рисунке необходимо использовать транспортир. Из-за возможных погрешностей при измерении на изображении, мы будем использовать теоретически точные значения, сумма которых должна быть $360^\circ$. Примерные результаты измерений могут быть следующими:
$ \angle A \approx 75^\circ $
$ \angle B \approx 115^\circ $
$ \angle C \approx 105^\circ $
$ \angle D \approx 65^\circ $
Теперь найдем их сумму:
$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D \approx 75^\circ + 115^\circ + 105^\circ + 65^\circ = 360^\circ $
Ответ: Приблизительные значения углов: $ \angle A \approx 75^\circ $, $ \angle B \approx 115^\circ $, $ \angle C \approx 105^\circ $, $ \angle D \approx 65^\circ $. Сумма углов равна $360^\circ$.

б) Начерти в тетради произвольный четырёхугольник FKME и найди сумму его углов. Что ты наблюдаешь? Сделай вывод. Почему пока полученный вывод нельзя считать доказанным для всех четырёхугольников?

Начертим произвольный четырёхугольник FKME и измерим его углы транспортиром. Например, у нас могли получиться углы: $ \angle F = 80^\circ $, $ \angle K = 120^\circ $, $ \angle M = 95^\circ $, $ \angle E = 65^\circ $.
Сумма его углов будет: $ 80^\circ + 120^\circ + 95^\circ + 65^\circ = 360^\circ $.
Что ты наблюдаешь? Я наблюдаю, что сумма углов этого произвольного четырёхугольника, как и в задании (а), оказалась равна $360^\circ$.
Сделай вывод. Можно сделать вывод (выдвинуть гипотезу), что сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$.
Почему пока полученный вывод нельзя считать доказанным для всех четырёхугольников? Этот вывод нельзя считать доказанным, потому что он сделан на основе рассмотрения всего двух частных случаев. В математике утверждение считается доказанным, только если оно обосновано логически для всех возможных случаев, а не проверено на нескольких примерах. Измерения, к тому же, всегда неточны.
Ответ: Сумма углов начерченного четырёхугольника FKME также равна $360^\circ$. Наблюдение: сумма углов разных четырёхугольников одинакова. Вывод: сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Этот вывод нельзя считать доказанным, так как он основан на частных примерах, а не на строгом логическом обосновании.

в) В четырёхугольнике ABCD проведи диагональ AC. Сколько треугольников получилось? Дополни общее высказывание и обоснуй его:

Если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ AC, то он разделится на два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $.
Дополним общее высказывание:
Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.
Обоснование:
Сумма углов четырёхугольника ABCD равна $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D $.
Диагональ AC делит угол $ \angle A $ на два угла ($ \angle BAC $ и $ \angle CAD $) и угол $ \angle C $ на два угла ($ \angle BCA $ и $ \angle ACD $).
Таким образом, $ \angle A = \angle BAC + \angle CAD $ и $ \angle C = \angle BCA + \angle ACD $.
Запишем сумму углов четырёхугольника, подставив эти выражения:
$ (\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle D $
Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы получились суммы углов двух треугольников:
$ (\angle BAC + \angle B + \angle BCA) + (\angle CAD + \angle D + \angle ACD) $
Сумма углов в первых скобках - это сумма углов треугольника $ \triangle ABC $, которая равна $180^\circ$.
Сумма углов во вторых скобках - это сумма углов треугольника $ \triangle ADC $, которая также равна $180^\circ$.
Следовательно, сумма углов четырёхугольника равна $ 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ $.
Это рассуждение является доказательством, так как оно справедливо для любого выпуклого четырёхугольника.
Ответ: Получилось 2 треугольника. Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.