Номер 9, страница 32, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 8. Построение углов с помощью транспортира. Часть 3 - номер 9, страница 32.

Условие.

9 а) Вписанные углы $A_1$, $A_2$ и $A_3$ опираются на дугу $BC$ (рис. 1). Измерь их величину. Что ты замечаешь?

б) Измерь вписанный угол $E_1$ (рис. 2). Построй и измерь вписанные углы, опирающиеся на ту же дугу $DF$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

в) Проверь свою гипотезу для углов, опирающихся на дугу $MN$ (рис. 3). Почему мы пока не можем считать, что гипотеза доказана для всех вписанных углов?

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Решение.

Решение 2.

а) Вписанные углы $A_1$, $A_2$ и $A_3$ — это углы $∠BA_1C$, $∠BA_2C$ и $∠BA_3C$. Все они опираются на одну и ту же дугу $BC$. Если измерить эти углы с помощью транспортира, мы обнаружим, что их градусные меры примерно одинаковы. Например, если $∠BA_1C ≈ 35°$, то и $∠BA_2C ≈ 35°$, и $∠BA_3C ≈ 35°$.
Можно заметить, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Ответ: При измерении углов $A_1$, $A_2$ и $A_3$ мы замечаем, что их величины равны: $∠A_1 = ∠A_2 = ∠A_3$.

б) Измерив вписанный угол $E_1$ ($∠DE_1F$), который опирается на дугу $DF$, мы получим некоторую величину. Теперь построим еще один вписанный угол, например $∠DE_2F$, вершина которого ($E_2$) также лежит на окружности и который опирается на ту же дугу $DF$. При измерении этого нового угла мы обнаружим, что его величина равна величине угла $E_1$.
Это наблюдение позволяет сформулировать следующую гипотезу: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Ответ: Измерив угол $E_1$ и построив другие вписанные углы, опирающиеся на ту же дугу $DF$, мы замечаем, что все они равны. Гипотеза: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

в) Для проверки гипотезы рассмотрим угол $∠MK_1N$, опирающийся на дугу $MN$ (рис. 3). Если мы построим любой другой вписанный угол, опирающийся на дугу $MN$, например $∠MK_2N$, то его измерение покажет, что он равен углу $∠MK_1N$. Таким образом, наша гипотеза подтверждается и в этом случае.
Однако мы пока не можем считать эту гипотезу доказанной для абсолютно всех вписанных углов. Причина в том, что проверка на нескольких частных примерах с помощью измерений не является строгим математическим доказательством. Математическое доказательство должно основываться на аксиомах и ранее доказанных теоремах и быть справедливым для любого возможного случая, а не только для тех, которые мы нарисовали и измерили. Измерения могут содержать погрешности и охватывают лишь конечное число случаев, в то время как доказываемое утверждение должно быть верным для бесконечного множества всех возможных вписанных углов.
Ответ: Гипотеза подтверждается и для углов, опирающихся на дугу $MN$. Мы пока не можем считать гипотезу доказанной, потому что проверка на нескольких конкретных примерах с помощью измерений не является строгим математическим доказательством, которое должно быть общим для всех случаев и не зависеть от погрешностей измерений.