номер 8, страница 10, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Запишите все трехзначные числа без повторения одинаковых цифр, используя цифры:

1) 2, 8, 7;

2) 5, 0, 9;

3) 4, 5, 6, 7.

1) Задача состоит в том, чтобы найти все возможные упорядоченные наборы из трех разных цифр 2, 8, 7. Это является задачей нахождения числа перестановок из 3 элементов. Количество таких чисел можно найти по формуле $P_n = n!$, где $\text{n}$ — количество элементов. В данном случае $n=3$.

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Существует 6 таких чисел. Запишем их все, systematically перебирая варианты для первой, второй и третьей цифры:

- Числа, начинающиеся с 2: 287, 278.

- Числа, начинающиеся с 8: 827, 872.

- Числа, начинающиеся с 7: 728, 782.

Ответ: 287, 278, 827, 872, 728, 782.

2) В этом случае используются цифры 5, 0, 9. Особенность этого набора в наличии цифры 0. Трехзначное число не может начинаться с 0, так как в этом случае оно становится двузначным. Поэтому на месте сотен может стоять либо 5, либо 9 (2 варианта). На месте десятков может стоять любая из двух оставшихся цифр. На месте единиц — последняя оставшаяся цифра.

Количество вариантов: $2 \times 2 \times 1 = 4$.

Перечислим эти числа:

- Если первая цифра 5, то из оставшихся 0 и 9 можно составить числа: 509, 590.

- Если первая цифра 9, то из оставшихся 0 и 5 можно составить числа: 905, 950.

Ответ: 509, 590, 905, 950.

3) Здесь нам даны четыре цифры: 4, 5, 6, 7. Нам нужно составить из них все возможные трехзначные числа без повторения цифр. Это задача нахождения числа размещений из 4 элементов по 3. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $\text{n}$ — общее количество элементов, а $\text{k}$ — количество элементов в выборке.

В нашем случае $n=4$ и $k=3$.

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Следовательно, можно составить 24 таких числа. Перечислим их, группируя по первой цифре:

- Начинающиеся на 4: 456, 457, 465, 467, 475, 476.

- Начинающиеся на 5: 546, 547, 564, 567, 574, 576.

- Начинающиеся на 6: 645, 647, 654, 657, 674, 675.

- Начинающиеся на 7: 745, 746, 754, 756, 764, 765.

Ответ: 456, 457, 465, 467, 475, 476, 546, 547, 564, 567, 574, 576, 645, 647, 654, 657, 674, 675, 745, 746, 754, 756, 764, 765.