номер 10, страница 10, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. 1) Запишите наибольшее четырехзначное число, в котором все цифры различны, и цифры в разрядах, начиная с меньшего, расположены в порядке возрастания.

2) Абзала попросили назвать номер квартиры, в которой он живет. Абзал ответил, что этот номер выражается числом, которое в $26$ раз больше числа, стоящего в разряде единиц номера, причем все цифры четные. Какой же номер этой квартиры?

1)

Пусть искомое четырехзначное число имеет вид $abcd$, где $\text{a}$ – цифра разряда тысяч, $\text{b}$ – цифра разряда сотен, $\text{c}$ – цифра разряда десятков, и $\text{d}$ – цифра разряда единиц. Согласно условию, все цифры числа различны. Также, по условию, "цифры в разрядах, начиная с меньшего, расположены в порядке возрастания". Меньший разряд – это разряд единиц, затем идет разряд десятков, сотен и тысяч. Это означает, что цифра в разряде единиц меньше цифры в разряде десятков, та в свою очередь меньше цифры в разряде сотен, и так далее. Математически это записывается как неравенство: $d < c < b < a$.

Мы ищем наибольшее возможное четырехзначное число. Чтобы число было наибольшим, его цифра в старшем разряде (тысяч), то есть $\text{a}$, должна быть как можно больше. Так как $a > b > c > d$, то $\text{a}$ является самой большой из четырех различных цифр. Для получения наибольшего числа выберем четыре самые большие различные цифры из возможных {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Это цифры 9, 8, 7 и 6.

Распределим эти цифры в соответствии с условием $d < c < b < a$: для $\text{a}$ (тысячи) берем самую большую цифру – 9; для $\text{b}$ (сотни) – следующую по величине, 8; для $\text{c}$ (десятки) – 7; и для $\text{d}$ (единицы) – самую маленькую, 6.

Таким образом, искомое число – это 9876. Проверим условия: все цифры (9, 8, 7, 6) различны, и они расположены в порядке возрастания от младшего разряда к старшему ($6 < 7 < 8 < 9$). Это наибольшее число, так как мы использовали максимально возможные цифры для старших разрядов.

Ответ: 9876.

2)

Пусть $\text{N}$ – номер квартиры. Пусть $\text{d}$ – цифра, стоящая в разряде единиц номера $\text{N}$. Из условия задачи известно, что номер квартиры в 26 раз больше цифры в разряде единиц. Это можно записать в виде уравнения: $N = 26 \cdot d$.

Также по условию все цифры числа $\text{N}$ четные. Четные цифры – это {0, 2, 4, 6, 8}. Поскольку $\text{d}$ является цифрой в разряде единиц числа $\text{N}$, то $\text{d}$ тоже должна быть четной. Кроме того, номер квартиры не может быть равен нулю, поэтому $d \neq 0$. Значит, $\text{d}$ может быть одной из следующих цифр: 2, 4, 6 или 8.

Проверим каждый возможный случай для $\text{d}$.

- Если $d = 2$, то $N = 26 \cdot 2 = 52$. Цифры этого числа – 5 и 2. Цифра 5 – нечетная, поэтому это число не подходит.

- Если $d = 4$, то $N = 26 \cdot 4 = 104$. Цифры этого числа – 1, 0 и 4. Цифра 1 – нечетная, поэтому это число не подходит.

- Если $d = 6$, то $N = 26 \cdot 6 = 156$. Цифры этого числа – 1, 5 и 6. Цифры 1 и 5 – нечетные, поэтому это число не подходит.

- Если $d = 8$, то $N = 26 \cdot 8 = 208$. Цифры этого числа – 2, 0 и 8. Все эти цифры четные. Это число удовлетворяет всем условиям задачи. Цифра в разряде единиц числа 208 – это 8, и $208 = 26 \cdot 8$.

Таким образом, мы нашли единственный подходящий номер квартиры.

Ответ: 208.