номер 1, страница 68, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что значит "разложить натуральное число на простые множители"?

1. Разложить натуральное число на простые множители означает представить это число в виде произведения, в котором все множители являются простыми числами. Чтобы полностью понять это определение, рассмотрим его составляющие.

Натуральное число — это любое целое положительное число, такое как $1, 2, 3, 10, 158$ и так далее. Разложению на множители подлежат натуральные числа, большие единицы.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Примерами простых чисел являются $2, 3, 5, 7, 11, 13$. Число 2 — единственное четное простое число.

Множитель (или делитель) — это число, на которое исходное число делится без остатка. Соответственно, простой множитель — это множитель, который сам является простым числом.

Ключевым принципом здесь является основная теорема арифметики. Она утверждает, что любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых множителей, и такое представление единственно (с точностью до порядка следования множителей).

Рассмотрим на примере разложение числа $36$:

Мы ищем простые числа, на которые $36$ делится без остатка. Начнем с наименьшего простого числа — $\text{2}$.

$36 \div 2 = 18$. Значит, $36 = 2 \cdot 18$.

Теперь работаем с числом $18$. Оно также делится на $\text{2}$.

$18 \div 2 = 9$. Теперь разложение выглядит как $36 = 2 \cdot 2 \cdot 9$.

Число $\text{9}$ на $\text{2}$ не делится. Следующее простое число — $\text{3}$. Число $\text{9}$ делится на $\text{3}$.

$9 \div 3 = 3$. Получаем $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.

Число $\text{3}$ — простое, поэтому на этом процесс завершен.

Полученные множители ($2, 2, 3, 3$) и есть простые множители числа $36$. Запись разложения принято группировать с помощью степеней: $36 = 2^2 \cdot 3^2$.

Еще один пример, число $100$:

$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.

Таким образом, эта процедура позволяет "построить" любое составное число из "кирпичиков" — простых чисел — с помощью операции умножения.

Ответ: Разложить натуральное число на простые множители — это найти набор простых чисел, произведение которых равно исходному числу. Например, для числа 90 разложением будет $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ или, в более краткой форме, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.