номер 2, страница 68, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Можно ли использовать степени в записи разложения натурального числа на простые множители?

Да, использовать степени в записи разложения натурального числа на простые множители не только можно, но и является стандартной и общепринятой практикой. Такая форма записи называется каноническим разложением числа и является более предпочтительной.

Разложение на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. Если в разложении один и тот же множитель встречается несколько раз, его удобно записать в виде степени, где основание — это сам простой множитель, а показатель степени — количество его повторений.

Рассмотрим на примере числа 72. Его разложение на простые множители выглядит так: $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. В этой записи множитель 2 повторяется три раза, а множитель 3 — два раза. Запись этого произведения с использованием степеней будет гораздо короче и нагляднее: $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Это и есть каноническое разложение числа 72.

Главное преимущество такого подхода — компактность и наглядность. Для больших чисел запись без степеней была бы чрезвычайно длинной. Например, разложение числа 1 000 000 на простые множители это $2^6 \cdot 5^6$. Записывать произведение из двенадцати множителей ($2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$) неудобно.

Кроме того, каноническая форма информативна. Она сразу показывает, какие простые числа являются делителями исходного числа, и какова кратность (сколько раз входит в разложение) каждого из них. Эта информация крайне важна для решения многих задач в теории чисел, например, для нахождения количества всех натуральных делителей числа или их суммы.

Использование степеней напрямую связано с основной теоремой арифметики, которая утверждает, что любое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых множителей единственным образом (с точностью до порядка их следования). Каноническая запись, где простые основания степеней упорядочены (обычно по возрастанию), как раз и является этой уникальной формой представления.

Ответ: Да, использование степеней является стандартным и предпочтительным способом записи разложения натурального числа на простые множители, поскольку такая запись (называемая канонической) более компактна, наглядна и информативна.