номер 207, страница 66, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

207. Сравните со степенями числа $\text{2}$ каждое из степеней $31^{11}$ и $17^{14}$. Используя полученные результаты, сравните $31^{11}$ и $17^{14}$.

Сравните со степенями числа 2 каждое из степеней $31^{11}$ и $17^{14}$

Чтобы сравнить $31^{11}$ со степенью числа 2, заметим, что число 31 близко к 32, а $32 = 2^5$. Поскольку $31 < 32$, при возведении в положительную степень 11 знак неравенства сохранится: $31^{11} < 32^{11}$. Теперь преобразуем правую часть неравенства: $32^{11} = (2^5)^{11} = 2^{5 \times 11} = 2^{55}$. Таким образом, мы получаем, что $31^{11} < 2^{55}$.

Чтобы сравнить $17^{14}$ со степенью числа 2, заметим, что число 17 близко к 16, а $16 = 2^4$. Поскольку $17 > 16$, при возведении в положительную степень 14 знак неравенства также сохранится: $17^{14} > 16^{14}$. Преобразуем правую часть этого неравенства: $16^{14} = (2^4)^{14} = 2^{4 \times 14} = 2^{56}$. Таким образом, мы получаем, что $17^{14} > 2^{56}$.

Ответ: $31^{11} < 2^{55}$ и $17^{14} > 2^{56}$.

Используя полученные результаты, сравните $31^{11}$ и $17^{14}$

Из предыдущего пункта мы получили два неравенства: 1. $31^{11} < 2^{55}$ 2. $17^{14} > 2^{56}$

Сравним между собой степени двойки $2^{55}$ и $2^{56}$. Так как основание степени $2 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше ее значение. Поскольку $55 < 56$, то $2^{55} < 2^{56}$. Теперь мы можем объединить все полученные неравенства в одну общую цепочку: $31^{11} < 2^{55} < 2^{56} < 17^{14}$.

Из этой цепочки неравенств, по свойству транзитивности (если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$), следует, что первое число в цепочке меньше последнего.

Ответ: $31^{11} < 17^{14}$.