номер 206, страница 66, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

206. Сравните значения степеней:

1) $2^3$ и $3^2$;

2) $2^{30}$ и $3^{20}$;

3) $4^3$ и $5^2$;

4) $2^{15}$ и $3^{10}$;

5) $2^5$ и $8^2$;

6) $2^6$ и $3^4$.

1) Для сравнения значений степеней $2^3$ и $3^2$ вычислим их значения. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$. Поскольку $8 < 9$, то $2^3 < 3^2$. Ответ: $2^3 < 3^2$.

2) Чтобы сравнить $2^{30}$ и $3^{20}$, приведем их к общему показателю степени. Показатели степеней 30 и 20 имеют наибольший общий делитель 10. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем выражения: $2^{30} = 2^{3 \cdot 10} = (2^3)^{10} = 8^{10}$. $3^{20} = 3^{2 \cdot 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. Теперь сравним $8^{10}$ и $9^{10}$. Так как основания степеней положительные и $8 < 9$, при возведении в одну и ту же положительную степень (10) неравенство сохраняется: $8^{10} < 9^{10}$. Следовательно, $2^{30} < 3^{20}$. Ответ: $2^{30} < 3^{20}$.

3) Для сравнения значений степеней $4^3$ и $5^2$ вычислим их значения. $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$. $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$. Поскольку $64 > 25$, то $4^3 > 5^2$. Ответ: $4^3 > 5^2$.

4) Чтобы сравнить $2^{15}$ и $3^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 15 и 10 равен 5. Преобразуем выражения: $2^{15} = 2^{3 \cdot 5} = (2^3)^5 = 8^5$. $3^{10} = 3^{2 \cdot 5} = (3^2)^5 = 9^5$. Сравниваем $8^5$ и $9^5$. Так как $8 < 9$, то $8^5 < 9^5$. Следовательно, $2^{15} < 3^{10}$. Ответ: $2^{15} < 3^{10}$.

5) Чтобы сравнить $2^5$ и $8^2$, приведем их к общему основанию. Основание 8 можно представить как степень числа 2: $8 = 2^3$. Тогда $8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$. Теперь нужно сравнить $2^5$ и $2^6$. Так как основание степени $2 > 1$, то больше то значение степени, у которого больше показатель. Поскольку $5 < 6$, то $2^5 < 2^6$. Следовательно, $2^5 < 8^2$. Ответ: $2^5 < 8^2$.

6) Для сравнения $2^6$ и $3^4$ приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель для показателей 6 и 4 равен 2. Преобразуем выражения: $2^6 = 2^{3 \cdot 2} = (2^3)^2 = 8^2$. $3^4 = 3^{2 \cdot 2} = (3^2)^2 = 9^2$. Теперь сравним $8^2$ и $9^2$. Так как $8 < 9$, то $8^2 < 9^2$. Следовательно, $2^6 < 3^4$. Ответ: $2^6 < 3^4$.