номер 6, страница 119, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Есть ли многоугольник, у которого только одна диагональ?

Для ответа на этот вопрос проанализируем, как количество диагоналей зависит от числа вершин в многоугольнике. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины.

Общая формула для вычисления числа диагоналей $\text{D}$ в многоугольнике с $\text{n}$ вершинами (где $\text{n}$ — целое число и $n \ge 3$) выглядит так:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Мы ищем многоугольник, у которого $D = 1$. Подставим это значение в формулу и попробуем найти соответствующее ему целое значение $\text{n}$.

$1 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2 = n(n-3)$

Раскроем скобки:

$2 = n^2 - 3n$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - 3n - 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D_{eq} = b^2 - 4ac$:

$D_{eq} = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

Поскольку дискриминант $D_{eq} = 17$ не является полным квадратом целого числа, корни уравнения будут иррациональными:

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D_{eq}}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Количество вершин многоугольника $\text{n}$ по определению может быть только целым числом, большим или равным 3. Так как решения уравнения не являются целыми числами, это означает, что не существует многоугольника с количеством вершин $\text{n}$, для которого число диагоналей было бы равно единице.

Можно прийти к этому же выводу, рассмотрев многоугольники с малым числом сторон:

• У треугольника ($n=3$): $D = \frac{3(3-3)}{2} = 0$ диагоналей.

• У четырёхугольника ($n=4$): $D = \frac{4(4-3)}{2} = 2$ диагонали.

• У пятиугольника ($n=5$): $D = \frac{5(5-3)}{2} = 5$ диагоналей.

С увеличением числа вершин количество диагоналей также увеличивается. Мы видим, что оно "перескакивает" значение 1, изменяясь с 0 (у треугольника) сразу на 2 (у четырёхугольника).

Ответ: Нет, многоугольника, у которого только одна диагональ, не существует.