номер 137, страница 59, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

$137$. В $22$ пакета разложили конфеты трех сортов. В каждом пакете конфеты одного сорта. Докажите, что в любом случае обязательно найдутся $\text{8}$ пакетов, в которых окажутся конфеты одного сорта.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле, а именно, докажем его методом от противного.

В задаче дано 22 пакета, в которые разложены конфеты трех сортов, причем в каждом пакете конфеты только одного сорта. Нам нужно доказать, что обязательно найдется 8 пакетов с конфетами одного и того же сорта.

Предположим обратное: пусть не существует 8 пакетов с конфетами одного сорта. Это означает, что для каждого из трех сортов количество пакетов меньше 8, то есть максимальное количество пакетов для любого из сортов равно 7.

Пусть $n_1$ — количество пакетов с конфетами первого сорта, $n_2$ — с конфетами второго сорта, и $n_3$ — с конфетами третьего сорта. Согласно нашему предположению: $n_1 \le 7$ $n_2 \le 7$ $n_3 \le 7$

В таком случае, найдем максимально возможное общее количество пакетов. Оно будет равно сумме максимальных количеств пакетов для каждого сорта: $N_{max} = 7 + 7 + 7 = 21$.

Таким образом, если бы наше предположение было верным, общее количество пакетов не могло бы превышать 21. Однако по условию задачи у нас 22 пакета. Мы получили противоречие: $22 \le 21$, что является неверным.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение (о том, что для каждого сорта существует не более 7 пакетов) было ложным. Следовательно, верным является обратное утверждение: обязательно найдется хотя бы один сорт конфет, который разложен как минимум в 8 пакетов.

Это же следует из обобщенного принципа Дирихле: если $\text{N}$ предметов (пакетов) распределить по $\text{k}$ ящикам (сортам), то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil N/k \rceil$ предметов. Для нашей задачи: $\lceil 22/3 \rceil = \lceil 7.333... \rceil = 8$.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что для каждого из 3-х сортов имеется не более 7-ми пакетов, то общее число пакетов не превысит $3 \times 7 = 21$. Это противоречит условию, что пакетов 22. Следовательно, найдется сорт конфет, для которого имеется не менее 8 пакетов.