номер 1, страница 61, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. Что такое числовая последовательность? Приведите примеры.

1. Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу $\text{n}$ (номеру или индексу) ставится в соответствие одно определённое число $a_n$ (член последовательности). Иными словами, это функция, заданная на множестве натуральных чисел $\text{N}$.

Последовательность принято обозначать как $(a_n)$ или перечислять её члены: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$.

• $a_1$ — первый член последовательности.
• $a_2$ — второй член последовательности.
• ...
• $a_n$ — n-й (общий) член последовательности.

Последовательность может быть конечной, если она содержит конечное число членов, или бесконечной, если число её членов не ограничено.

Существует несколько способов задания числовой последовательности:

1. Аналитический способ — с помощью формулы n-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $\text{n}$. Например, формула $a_n = 2n - 1$ задаёт последовательность нечётных натуральных чисел.
2. Рекуррентный способ — указывается один или несколько первых членов и формула, позволяющая найти любой следующий член через предыдущие. Классический пример — последовательность Фибоначчи.
3. Словесный способ — правило составления последовательности описывается словами. Например, "последовательность всех простых чисел в порядке возрастания".

Примеры числовых последовательностей:

• Последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, \dots, n, \dots$

  Формула n-го члена: $a_n = n$.

• Арифметическая прогрессия: последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $\text{d}$ (разностью прогрессии).

  Пример: $5, 8, 11, 14, \dots$ (здесь первый член $a_1=5$, разность $d=3$).

  Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

• Геометрическая прогрессия: последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q \neq 0$ (знаменатель прогрессии).

  Пример: $2, 6, 18, 54, \dots$ (здесь первый член $a_1=2$, знаменатель $q=3$).

  Формула n-го члена: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

• Последовательность Фибоначчи: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$

  Эта последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$ для $n \ge 1$. Каждый следующий член равен сумме двух предыдущих.

• Последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$

  Формула n-го члена: $a_n = n^2$.

Ответ: Числовая последовательность — это занумерованный ряд чисел, то есть функция, определенная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой уникальный номер (индекс). Примерами являются арифметическая прогрессия (например, 2, 4, 6, 8,...), геометрическая прогрессия (например, 3, 9, 27, 81,...) и последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5,...).