номер 146, страница 62, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

146. Имеется 8 одинаковых колец, из них одно легче остальных, остальные одинаковой массы. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти кольцо, которое легче остальных?

Для решения подобных задач используется принцип деления на три. Каждое взвешивание на чашечных весах без гирь даёт один из трёх возможных результатов: левая чаша легче, правая чаша легче или чаши в равновесии. Таким образом, за одно взвешивание можно определить, в какой из трёх групп находится искомый предмет.

Пусть $\text{N}$ — общее количество предметов (колец), а $\text{k}$ — количество взвешиваний. Чтобы гарантированно найти один предмет, должно выполняться неравенство $3^k \ge N$.

В нашем случае $N=8$. Проверим минимальное значение $\text{k}$:

- Если $k=1$, то $3^1 = 3$. Неравенство $3 \ge 8$ не выполняется, значит, одного взвешивания недостаточно.

- Если $k=2$, то $3^2 = 9$. Неравенство $9 \ge 8$ выполняется, значит, двух взвешиваний теоретически должно хватить.

Докажем это, приведя конкретный алгоритм действий.

Первое взвешивание

Разделим 8 колец на три группы: две группы по 3 кольца и одна группа из 2 колец. Назовем их Группа 1 (кольца 1,2,3), Группа 2 (кольца 4,5,6) и Группа 3 (кольца 7,8).

Кладём на чаши весов Группу 1 и Группу 2. Группу 3 оставляем в стороне. Возможны три исхода:

1. Весы в равновесии.

Это означает, что все 6 колец на весах имеют стандартный вес. Следовательно, более легкое кольцо находится в Группе 3 (среди колец 7 и 8).

Второе взвешивание: Берём кольцо 7 и кладём на одну чашу, а на другую — любое кольцо из первых шести (например, кольцо 1, которое мы теперь знаем, что оно стандартного веса). Если чаша с кольцом 7 поднимется, значит, оно и есть легкое. Если весы останутся в равновесии, значит, легким является оставшееся кольцо 8.

2. Левая чаша (с Группой 1) легче.

Это означает, что легкое кольцо находится среди колец 1, 2 и 3.

Второе взвешивание: Кладём на одну чашу кольцо 1, а на другую — кольцо 2. Кольцо 3 откладываем в сторону. Если левая чаша окажется легче, искомое кольцо — 1. Если правая чаша окажется легче, искомое кольцо — 2. Если же весы уравновесятся, значит, легким является отложенное кольцо 3.

3. Правая чаша (с Группой 2) легче.

Этот случай полностью аналогичен предыдущему. Легкое кольцо находится среди колец 4, 5 и 6.

Второе взвешивание: Сравниваем вес колец 4 и 5, оставив кольцо 6 в стороне. По результату (какая-то чаша легче или равновесие) однозначно определяем легкое кольцо.

Таким образом, при любом исходе первого взвешивания, второе взвешивание позволяет точно определить, какое из колец легче. Поскольку одного взвешивания недостаточно, наименьшее число взвешиваний равно двум.

Ответ: 2