номер 150, страница 62, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

150. Впишите в пустые клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал «магическим».

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 8 & & 16 \\ \hline & 10 & \\ \hline & & 12 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|c|c|} \hline & & 11 \\ \hline 17 & 1 & \\ \hline & & 15 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|c|c|} \hline & & \\ \hline & 1 & \\ \hline 22 & 7 & 10 \\ \hline \end{array} $

Указание. В «магическом» квадрате суммы чисел по строкам, по столбцам и на отрезках, соединяющих противоположные вершины, равны. В клетках «магического» квадрата одинаковые числа не повторяются.

Для решения задачи воспользуемся определением «магического» квадрата: суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны. Это число называется магической константой ($\text{S}$). Для квадрата 3x3 магическая константа всегда в три раза больше числа в центральной клетке: $S = 3 \times c_{центр}$. Также, сумма двух чисел, расположенных в клетках, симметричных относительно центра, равна удвоенному центральному элементу.

Решение для первого квадрата (слева)

Исходный квадрат:

1. Найдём магическую константу $\text{S}$. Одна из диагоналей заполнена: 8, 10, 12. Сумма чисел на этой диагонали равна $S = 8 + 10 + 12 = 30$.

2. Теперь, зная $S=30$, мы можем найти остальные числа. Обозначим клетки как $c_{ij}$, где $\text{i}$ — номер строки, а $\text{j}$ — номер столбца.

3. Первая строка: $8 + c_{12} + 16 = 30$. Отсюда $c_{12} = 30 - 8 - 16 = 6$.

4. Третий столбец: $16 + c_{23} + 12 = 30$. Отсюда $c_{23} = 30 - 16 - 12 = 2$.

5. Второй столбец: $6 + 10 + c_{32} = 30$. Отсюда $c_{32} = 30 - 6 - 10 = 14$.

6. Вторая строка: $c_{21} + 10 + 2 = 30$. Отсюда $c_{21} = 30 - 10 - 2 = 18$.

7. Третья строка: $c_{31} + 14 + 12 = 30$. Отсюда $c_{31} = 30 - 14 - 12 = 4$.

8. Проверим оставшиеся суммы. Первый столбец: $8 + 18 + 4 = 30$. Вторая диагональ: $16 + 10 + 4 = 30$. Все суммы совпадают.

Ответ:

Решение для второго квадрата (в центре)

Исходный квадрат:

Данный квадрат в предложенном виде не имеет решения. Условия для него противоречивы. Докажем это. Обозначим клетки $c_{ij}$ и магическую константу $\text{S}$.

1. Из первой строки следует: $c_{11} + c_{12} + 11 = S$.

2. Из первого столбца следует: $c_{11} + 17 + c_{31} = S$.

Приравняв правые части, получим: $c_{11} + c_{12} + 11 = c_{11} + 17 + c_{31}$, что упрощается до $c_{12} - c_{31} = 6$ или $c_{31} - c_{12} = -6$.

3. Из второй диагонали (справа налево): $11 + 1 + c_{31} = S$.

4. Из второго столбца: $c_{12} + 1 + 15 = S$.

Приравняв правые части, получим: $11 + 1 + c_{31} = c_{12} + 1 + 15$, что упрощается до $12 + c_{31} = c_{12} + 16$ или $c_{31} - c_{12} = 4$.

Мы получили два несовместных уравнения: $c_{31} - c_{12} = -6$ и $c_{31} - c_{12} = 4$. Так как $-6 \neq 4$, система не имеет решения. Это означает, что невозможно подобрать числа, чтобы квадрат стал магическим при заданных начальных значениях.

Ответ: Задачу для второго квадрата решить невозможно, так как начальные условия противоречивы.

Решение для третьего квадрата (справа)

Исходный квадрат:

Этот квадрат, как и предыдущий, содержит противоречивые данные.

1. В третьей строке даны все три числа. Мы можем вычислить магическую константу: $S = 22 + 7 + 10 = 39$.

2. В то же время, для любого магического квадрата 3x3 магическая константа $\text{S}$ должна быть равна утроенному значению центральной клетки: $S = 3 \times c_{центр}$. В данном квадрате центральная клетка равна 1. Следовательно, магическая константа должна быть $S = 3 \times 1 = 3$.

3. Мы получили два разных значения для магической константы: $S=39$ и $S=3$. Это противоречие означает, что квадрат с заданными числами не может быть магическим.

Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что опечатка в центральной клетке, то правильное значение должно быть $c_{центр} = S / 3 = 39 / 3 = 13$. Заменим 1 на 13 и решим задачу.

1. $S = 39$, $c_{центр} = 13$.

2. Используем свойство симметрии: сумма противоположных клеток равна удвоенному центру, то есть $2 \times 13 = 26$.

3. Найдём числа в первой строке, используя числа из симметричной третьей строки:

- $c_{11} = 26 - c_{33} = 26 - 10 = 16$.

- $c_{12} = 26 - c_{32} = 26 - 7 = 19$.

- $c_{13} = 26 - c_{31} = 26 - 22 = 4$.

4. Найдём оставшиеся числа во второй строке. Из первого столбца: $16 + c_{21} + 22 = 39$. Отсюда $c_{21} = 39 - 16 - 22 = 1$.

5. По свойству симметрии: $c_{23} = 26 - c_{21} = 26 - 1 = 25$.

6. Проверим все суммы с полученными числами. Все строки, столбцы и диагонали дают в сумме 39.

Ответ: Исходная задача не имеет решения. Если предположить опечатку в центре (1 вместо 13), решение будет следующим: