номер 4, страница 35, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Используя метод Гаусса, вычислите сумму (2-4).

4. $(55 \cdot 100 - 100 \cdot 50) + (50 \cdot 98 - 98 \cdot 45) + (45 \cdot 96 - 96 \cdot 40) + (40 \cdot 94 - 94 \cdot 35) + (35 \cdot 92 - 92 \cdot 30).$

A. 3200;

B. 2400;

C. 2750;

D. 3400.

4. Для решения этой задачи воспользуемся распределительным законом умножения, который гласит $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. Упростим каждое выражение в скобках, вынося общий множитель.

Первое слагаемое: $(55 \cdot 100 - 100 \cdot 50)$. Вынесем за скобки 100: $100 \cdot (55 - 50) = 100 \cdot 5$.

Второе слагаемое: $(50 \cdot 98 - 98 \cdot 45)$. Вынесем за скобки 98: $98 \cdot (50 - 45) = 98 \cdot 5$.

Третье слагаемое: $(45 \cdot 96 - 96 \cdot 40)$. Вынесем за скобки 96: $96 \cdot (45 - 40) = 96 \cdot 5$.

Четвертое слагаемое: $(40 \cdot 94 - 94 \cdot 35)$. Вынесем за скобки 94: $94 \cdot (40 - 35) = 94 \cdot 5$.

Пятое слагаемое: $(35 \cdot 92 - 92 \cdot 30)$. Вынесем за скобки 92: $92 \cdot (35 - 30) = 92 \cdot 5$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде суммы этих упрощенных произведений: $100 \cdot 5 + 98 \cdot 5 + 96 \cdot 5 + 94 \cdot 5 + 92 \cdot 5$.

Снова применим распределительный закон и вынесем общий множитель 5 за скобки: $5 \cdot (100 + 98 + 96 + 94 + 92)$.

Далее нужно вычислить сумму в скобках. Числа $100, 98, 96, 94, 92$ образуют убывающую арифметическую прогрессию. Метод Гаусса для вычисления суммы такой прогрессии заключается в попарном сложении членов, равноудаленных от краев. Сумма каждой такой пары будет одинаковой.

Сложим первый и последний члены: $100 + 92 = 192$. Сложим второй и предпоследний члены: $98 + 94 = 192$. В центре последовательности остается один член: $96$. Таким образом, сумма в скобках равна: $(100 + 92) + (98 + 94) + 96 = 192 + 192 + 96 = 384 + 96 = 480$.

Также можно использовать формулу суммы $\text{n}$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. В нашем случае первый член $a_1 = 100$, последний $a_n = 92$, а количество членов $n = 5$. $S_5 = \frac{(100 + 92) \cdot 5}{2} = \frac{192 \cdot 5}{2} = 96 \cdot 5 = 480$.

Наконец, умножим полученную сумму на 5, чтобы найти окончательный результат: $5 \cdot 480 = 2400$.

Ответ: 2400