номер 3, страница 35, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Используя метод Гаусса, вычислите сумму (2-4).

3. $(3 \cdot 96 - 84 \cdot 3) + (5 \cdot 84 - 72 \cdot 5) + (7 \cdot 72 - 60 \cdot 7) + (9 \cdot 60 - 48 \cdot 9) + (11 \cdot 48 - 36 \cdot 11) + (13 \cdot 36 - 24 \cdot 13)$.

A. 586;

B. 592;

C. 576;

D. 580.

3. Для того чтобы вычислить сумму, указанную в выражении, мы можем упростить каждое слагаемое, заметив общую структуру. Каждое слагаемое в скобках представляет собой разность двух произведений, где можно вынести общий множитель.

Проанализируем и упростим каждое слагаемое:

• Первое слагаемое: $(3 \cdot 96 - 84 \cdot 3)$. Вынесем общий множитель 3 за скобку: $3 \cdot (96 - 84) = 3 \cdot 12 = 36$.
• Второе слагаемое: $(5 \cdot 84 - 72 \cdot 5)$. Вынесем общий множитель 5 за скобку: $5 \cdot (84 - 72) = 5 \cdot 12 = 60$.
• Третье слагаемое: $(7 \cdot 72 - 60 \cdot 7)$. Вынесем общий множитель 7 за скобку: $7 \cdot (72 - 60) = 7 \cdot 12 = 84$.
• Четвертое слагаемое: $(9 \cdot 60 - 48 \cdot 9)$. Вынесем общий множитель 9 за скобку: $9 \cdot (60 - 48) = 9 \cdot 12 = 108$.
• Пятое слагаемое: $(11 \cdot 48 - 36 \cdot 11)$. Вынесем общий множитель 11 за скобку: $11 \cdot (48 - 36) = 11 \cdot 12 = 132$.
• Шестое слагаемое: $(13 \cdot 36 - 24 \cdot 13)$. Вынесем общий множитель 13 за скобку: $13 \cdot (36 - 24) = 13 \cdot 12 = 156$.

После упрощения исходная сумма примет вид:

$3 \cdot 12 + 5 \cdot 12 + 7 \cdot 12 + 9 \cdot 12 + 11 \cdot 12 + 13 \cdot 12$.

Теперь мы можем вынести общий множитель 12 за скобки из всего выражения:

$12 \cdot (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13)$.

Далее, вычислим сумму чисел в скобках. Это сумма членов арифметической прогрессии. Упомянутый "метод Гаусса" идеально подходит для таких задач. Он заключается в попарном сложении чисел с начала и с конца последовательности.

Сгруппируем слагаемые в скобках:

Сумма $S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$

$S = (3 + 13) + (5 + 11) + (7 + 9) = 16 + 16 + 16 = 3 \cdot 16 = 48$.

Наконец, подставим полученную сумму обратно в выражение и выполним финальное умножение:

$12 \cdot 48 = 576$.

Таким образом, значение всего выражения равно 576.

Ответ: 576.