номер 3, страница 50, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все значения неизвестной переменной (или переменных), при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Эти значения называются корнями или решениями уравнения. Процесс решения также включает в себя доказательство того, что уравнение не имеет корней, если это так.

Поиск корней осуществляется с помощью равносильных преобразований. Их цель — упростить уравнение до вида, в котором корень очевиден, например, $x = a$. К таким преобразованиям относятся: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака, умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д.

В результате решения уравнения возможен один из трех исходов. Первый исход: уравнение имеет один или несколько корней (конечное или бесконечное множество). Например, уравнение $5x - 10 = 0$ после преобразований ($5x = 10$, $x = 2$) дает один корень $x=2$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. А уравнение $\sin(x) = 0$ имеет бесконечное множество корней вида $x = \pi n$, где $\text{n}$ — любое целое число. Второй исход: уравнение не имеет корней. Это случается, когда преобразования приводят к неверному равенству, например, $0=5$. Так, в уравнении $2x + 5 = 2x + 1$, вычитание $2x$ из обеих частей дает неверное равенство $5=1$, что доказывает отсутствие корней. Третий исход: решением является любое число (из области допустимых значений). Такое уравнение является тождеством и при преобразованиях приводит к верному равенству, например, $0=0$. В уравнении $3(x - 2) = 3x - 6$, раскрыв скобки, получаем $3x - 6 = 3x - 6$, что является верным для любого $\text{x}$.

Ответ: Решить уравнение — значит найти множество всех его корней или установить, что это множество пусто (корней нет).