номер 4, страница 98, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

4. Если даны различные записи разложения одного и того же составного числа, то в чем их отличие, в чем сходство?

Различные записи разложения одного и того же составного числа имеют как сходства, так и отличия. Чтобы понять их, рассмотрим в качестве примера составное число 24.

Его можно разложить на множители разными способами:

• $24 = 2 \cdot 12$
• $24 = 3 \cdot 8$
• $24 = 4 \cdot 6$
• $24 = 2 \cdot 2 \cdot 6$

Отличие

Отличие этих записей заключается в наборе множителей, из которых состоит произведение.

• Множители могут быть разными числами. Например, в разложении $2 \cdot 12$ есть множитель 12, а в разложении $3 \cdot 8$ его нет.
• Количество множителей может различаться. Например, в разложении $4 \cdot 6$ их два, а в разложении $2 \cdot 2 \cdot 6$ — три.
• Некоторые множители в разложениях могут быть составными числами (12, 8, 6, 4), а другие — простыми (2, 3).

Если же рассматривать только разложения на простые множители, то согласно Основной теореме арифметики, такое разложение единственно. Различные записи в этом случае могут отличаться только порядком следования множителей. Например, для числа 24:

• $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
• $24 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$
• $24 = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Эти записи отличаются лишь перестановкой множителей.

Ответ: Отличие различных записей разложения состоит в наборе, количестве и типе (простые или составные) множителей. Если разложение ведется только на простые множители, то отличие может быть только в порядке их следования.

Сходство

Сходство всех этих записей заключается в двух ключевых моментах:

1. Произведение множителей в любом из разложений всегда равно исходному составному числу. В нашем примере, $2 \cdot 12 = 24$, $3 \cdot 8 = 24$ и так далее.
2. Это наиболее важное сходство: если в любом разложении продолжить раскладывать все составные множители до тех пор, пока не останутся только простые числа, то в итоге мы всегда получим один и тот же уникальный набор простых множителей.

Продемонстрируем это на нашем примере:

• $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 3) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
• $24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot (2 \cdot 4) = 3 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 2) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
• $24 = 4 \cdot 6 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Как видно, независимо от первоначального способа, мы всегда приходим к одному и тому же набору простых множителей: три двойки и одна тройка. Это свойство называется единственностью канонического разложения и описывается Основной теоремой арифметики.

Ответ: Сходство заключается в том, что произведение множителей всегда равно исходному числу, и, что более важно, любое разложение в конечном счете сводится к одному и тому же уникальному набору простых множителей.