номер 3, страница 165, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как сравниваются дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к такому виду, чтобы сравнение стало возможным. Для этого существует несколько способов.

1. Приведение к общему знаменателю

Это основной и самый надёжный метод. Суть его в том, чтобы сделать знаменатели дробей одинаковыми, после чего можно будет сравнить их числители.

Алгоритм:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это число станет общим знаменателем для обеих дробей.
2. Определить для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого новый общий знаменатель нужно разделить на старый знаменатель каждой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. Это даст новые дроби, равные исходным, но с одинаковыми знаменателями.
4. Сравнить числители полученных дробей. Та дробь больше, у которой числитель больше.

Пример: Сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.

1. Находим НОК для знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Общий знаменатель — 12.

2. Находим дополнительные множители:

Для $ \frac{3}{4} $ дополнительный множитель: $ 12 \div 4 = 3 $.

Для $ \frac{5}{6} $ дополнительный множитель: $ 12 \div 6 = 2 $.

3. Умножаем числители и знаменатели:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $

4. Сравниваем новые дроби: $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{10}{12} $.

Так как $ 9 < 10 $, то $ \frac{9}{12} < \frac{10}{12} $.

Следовательно, $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $.

2. Метод перекрестного умножения ("крест-накрест")

Это быстрый способ, особенно удобный для сравнения двух дробей. Чтобы сравнить дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, нужно сравнить произведения числителя первой дроби на знаменатель второй ($ a \cdot d $) и числителя второй на знаменатель первой ($ c \cdot b $).

• Если $ a \cdot d > c \cdot b $, то $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $.
• Если $ a \cdot d < c \cdot b $, то $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $.
• Если $ a \cdot d = c \cdot b $, то $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $.

Пример: Сравнить те же дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.

Сравниваем произведения $ 3 \cdot 6 $ и $ 5 \cdot 4 $.

$ 3 \cdot 6 = 18 $

$ 5 \cdot 4 = 20 $

Поскольку $ 18 < 20 $, то $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $.

3. Преобразование в десятичные дроби

Можно преобразовать каждую обыкновенную дробь в десятичную, разделив её числитель на знаменатель, а затем сравнить полученные десятичные числа.

Пример: Снова сравним $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{6} $.

$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75 $

$ \frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0.8333... $

Сравниваем десятичные дроби: $ 0.75 < 0.8333... $

Следовательно, $ \frac{3}{4} < \frac{5}{6} $.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, можно: 1) привести их к общему знаменателю и сравнить числители; 2) использовать метод перекрестного умножения; 3) преобразовать их в десятичные дроби и сравнить полученные числа.