номер 4, страница 165, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

4. Объясните сравнение смешанных чисел.

Смешанное число — это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например, $2\frac{3}{4}$, где 2 — целая часть, а $\frac{3}{4}$ — дробная часть. Для сравнения двух смешанных чисел существует простой алгоритм.

Правило сравнения смешанных чисел:

Чтобы сравнить два смешанных числа, нужно сначала сравнить их целые части.

1. Из двух смешанных чисел больше то, у которого целая часть больше.
2. Если целые части смешанных чисел равны, то больше то число, у которого дробная часть больше.

Рассмотрим эти правила на примерах.

Сравнение смешанных чисел с разными целыми частями

Если целые части двух смешанных чисел различны, то больше то число, у которого целая часть больше. Дробные части в этом случае можно не сравнивать.

Пример: Сравнить числа $5\frac{1}{8}$ и $3\frac{7}{9}$.

Решение: Сравним целые части этих чисел. Целая часть первого числа равна 5, а второго — 3. Так как $5 > 3$, то и всё число $5\frac{1}{8}$ будет больше, чем $3\frac{7}{9}$.

$5\frac{1}{8} > 3\frac{7}{9}$, потому что $5 > 3$.

Ответ: $5\frac{1}{8} > 3\frac{7}{9}$.

Сравнение смешанных чисел с одинаковыми целыми частями

Если целые части двух смешанных чисел равны, то для их сравнения нужно сравнить их дробные части. Больше будет то число, у которого дробная часть больше.

Пример 1: Сравнить числа $7\frac{2}{5}$ и $7\frac{4}{5}$.

Решение: Целые части этих чисел равны (обе равны 7). Поэтому сравним их дробные части: $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{5}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, сравниваем их числители. Поскольку $2 < 4$, то $\frac{2}{5} < \frac{4}{5}$. Следовательно, первое число меньше второго.

Ответ: $7\frac{2}{5} < 7\frac{4}{5}$.

Пример 2: Сравнить числа $4\frac{2}{3}$ и $4\frac{3}{5}$.

Решение: Целые части равны (обе равны 4). Сравним дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$. У этих дробей разные знаменатели, поэтому приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.

Приводим первую дробь к знаменателю 15: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$.

Приводим вторую дробь к знаменателю 15: $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{10}{15}$ и $\frac{9}{15}$. Так как $10 > 9$, то $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, а значит $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

Следовательно, первое смешанное число больше второго.

Ответ: $4\frac{2}{3} > 4\frac{3}{5}$.

Альтернативный способ: перевод в неправильные дроби

Любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби (дроби, у которой числитель больше знаменателя или равен ему). Для этого нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к результату числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Формула: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

После перевода смешанных чисел в неправильные дроби их можно сравнить по правилам сравнения обыкновенных дробей (приведя к общему знаменателю).

Пример: Сравнить $2\frac{3}{4}$ и $3\frac{1}{5}$.

Решение:

1. Переведем оба числа в неправильные дроби:

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{15 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

2. Теперь сравним дроби $\frac{11}{4}$ и $\frac{16}{5}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20.

$\frac{11}{4} = \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{55}{20}$

$\frac{16}{5} = \frac{16 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{64}{20}$

3. Сравним числители: $55 < 64$. Следовательно, $\frac{55}{20} < \frac{64}{20}$, а значит $\frac{11}{4} < \frac{16}{5}$.

Таким образом, $2\frac{3}{4} < 3\frac{1}{5}$.

Обратите внимание, что в данном примере можно было сразу сравнить целые части: $2 < 3$, что сразу дает тот же результат и является более быстрым способом.

Ответ: $2\frac{3}{4} < 3\frac{1}{5}$.