Номер 467, страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

467. Сократите дроби:

а) $ \frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 9} $;

б) $ \frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} $;

в) $ \frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20} $;

г) $ \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30} $.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{10 \cdot 9}{30 \cdot 9}$, нужно найти общие множители в числителе и знаменателе.

Видно, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель 9. Сократим дробь на 9:

$\frac{10 \cdot \cancel{9}}{30 \cdot \cancel{9}} = \frac{10}{30}$

Теперь сократим полученную дробь $\frac{10}{30}$. Наибольший общий делитель для чисел 10 и 30 равен 10. Разделим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{10 \div 10}{30 \div 10} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б)

Сократим дробь $\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18}$.

В числителе и знаменателе есть общие множители 14 и 16. Сократим дробь на эти множители:

$\frac{12 \cdot \cancel{14} \cdot \cancel{16}}{\cancel{14} \cdot \cancel{16} \cdot 18} = \frac{12}{18}$

Теперь сократим дробь $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для 12 и 18 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в)

Сократим дробь $\frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20}$.

Для удобства можно разложить числа на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

Подставим разложения в дробь и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{14 \cdot 15}{21 \cdot 20} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 5)} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}}{\cancel{3} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{5}} = \frac{1}{2}$

Другой способ — пошаговое сокращение:

Сократим 14 и 21 на 7: $\frac{\cancel{14}^2 \cdot 15}{\cancel{21}^3 \cdot 20} = \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 20}$.

Сократим 15 и 3 на 3: $\frac{2 \cdot \cancel{15}^5}{\cancel{3}^1 \cdot 20} = \frac{2 \cdot 5}{20} = \frac{10}{20}$.

Сократим $\frac{10}{20}$ на 10: $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г)

Сократим дробь $\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30}$.

Будем сокращать пошагово, находя общие делители у чисел в числителе и знаменателе.

Сократим 5 (в числителе) и 30 (в знаменателе) на 5:

$\frac{\cancel{5}^1 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot \cancel{30}^6} = \frac{9}{6 \cdot 7 \cdot 6}$

Сократим 9 (в числителе) и один из множителей 6 (в знаменателе) на 3:

$\frac{\cancel{9}^3}{\cancel{6}^2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{3}{2 \cdot 7 \cdot 6}$

Сократим 3 (в числителе) и оставшийся множитель 6 (в знаменателе) на 3:

$\frac{\cancel{3}^1}{2 \cdot 7 \cdot \cancel{6}^2} = \frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2}$

Вычислим произведение в знаменателе:

$2 \cdot 7 \cdot 2 = 28$

В результате получаем дробь $\frac{1}{28}$.

Ответ: $\frac{1}{28}$