Номер 466, страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

466 Используя признаки делимости, докажите, что дробь можно сократить, и выполните сокращение:

а) $\frac{2808}{3456}$;

б) $\frac{1665}{6930}$.

а) $\frac{2808}{3456}$

Чтобы доказать, что дробь можно сократить, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя, который больше 1, используя признаки делимости.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Сумма цифр числителя 2808: $2 + 8 + 0 + 8 = 18$. $18$ делится на $9$.
Сумма цифр знаменателя 3456: $3 + 4 + 5 + 6 = 18$. $18$ делится на $9$.
Так как и числитель, и знаменатель делятся на 9, дробь является сократимой.

Признак делимости на 8: число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
Для числителя 2808: число 808 делится на 8 ($808 \div 8 = 101$).
Для знаменателя 3456: число 456 делится на 8 ($456 \div 8 = 57$).
Оба числа делятся на 8, что также доказывает, что дробь можно сократить.

Теперь выполним сокращение дроби. Можно сокращать последовательно на найденные общие делители.

Сократим дробь на 8:

$\frac{2808}{3456} = \frac{2808 \div 8}{3456 \div 8} = \frac{351}{432}$

Теперь сократим полученную дробь на 9 (сумма цифр для 351 равна $3+5+1=9$, для 432 равна $4+3+2=9$):

$\frac{351}{432} = \frac{351 \div 9}{432 \div 9} = \frac{39}{48}$

Сумма цифр числителя 39 ($3+9=12$) и знаменателя 48 ($4+8=12$) делится на 3. Сократим дробь на 3:

$\frac{39}{48} = \frac{39 \div 3}{48 \div 3} = \frac{13}{16}$

Число 13 — простое. 16 на 13 не делится. Дробь сокращена полностью.

Ответ: $\frac{13}{16}$

б) $\frac{1665}{6930}$

Докажем, что дробь можно сократить, используя признаки делимости.

Признак делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Числитель 1665 оканчивается на 5, следовательно, он делится на 5.
Знаменатель 6930 оканчивается на 0, следовательно, он делится на 5.
Оба числа делятся на 5, значит, дробь можно сократить.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Сумма цифр числителя 1665: $1 + 6 + 6 + 5 = 18$. $18$ делится на $9$.
Сумма цифр знаменателя 6930: $6 + 9 + 3 + 0 = 18$. $18$ делится на $9$.
Так как и числитель, и знаменатель делятся на 9, дробь является сократимой.

Теперь выполним сокращение. Поскольку оба числа делятся на 5 и на 9, их можно сократить на $5 \times 9 = 45$. Выполним сокращение последовательно.

Сократим на 5:

$\frac{1665}{6930} = \frac{1665 \div 5}{6930 \div 5} = \frac{333}{1386}$

Теперь сократим полученную дробь на 9 (сумма цифр для 333 равна $3+3+3=9$, для 1386 равна $1+3+8+6=18$):

$\frac{333}{1386} = \frac{333 \div 9}{1386 \div 9} = \frac{37}{154}$

Число 37 — простое. Проверим, делится ли 154 на 37: $154 = 2 \times 7 \times 11$. Общих делителей с 37 нет. Следовательно, дробь $\frac{37}{154}$ несократимая.

Ответ: $\frac{37}{154}$