Номер 431, страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.1. Делители и кратные. Глава 6. Делимость чисел - номер 431, страница 114.

РАССУЖДАЕМ (431–432)

431 Коля записал на доске десять последовательных чисел, кратных 14, начиная с наименьшего. Когда он стёр решение, на доске осталось число 70. Восстановите Колино решение.

По условию задачи, Коля записал десять последовательных чисел, кратных 14. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 14$. Обозначим наименьшее (первое) из этих чисел как $a_1$.

Тогда вся последовательность чисел выглядит так: $a_1, a_1 + 14, a_1 + 2 \cdot 14, \dots, a_1 + 9 \cdot 14$.

В задаче говорится, что "когда он стёр решение, на доске осталось число 70". Слово "решение" чаще всего в таких задачах означает результат вычислений, например, сумму чисел. Фраза может быть истолкована так, что Коля стёр исходные десять чисел, оставив на доске только результат их сложения — число 70. Эта трактовка позволяет найти единственный верный ответ.

Предположим, что сумма этих десяти чисел равна 70. Вычислим сумму этой арифметической прогрессии. Количество членов $n=10$, первый член равен $a_1$, а десятый $a_{10} = a_1 + 9 \cdot 14 = a_1 + 126$.

Сумма $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{n(a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10(a_1 + a_1 + 126)}{2} = 5(2a_1 + 126) = 10a_1 + 630$.

По нашему предположению, $S = 70$. Составим и решим уравнение:$10a_1 + 630 = 70$$10a_1 = 70 - 630$$10a_1 = -560$$a_1 = -56$.

Итак, наименьшее число в последовательности — это -56. Теперь мы можем восстановить все десять чисел, которые записал Коля, последовательно прибавляя 14:-56, -42, -28, -14, 0, 14, 28, 42, 56, 70.

Проверим, равна ли сумма этих чисел 70:$S = (-56) + (-42) + (-28) + (-14) + 0 + 14 + 28 + 42 + 56 + 70$.Сгруппируем слагаемые:$S = (-56+56) + (-42+42) + (-28+28) + (-14+14) + 0 + 70 = 0 + 70 = 70$.

Наша гипотеза верна. Число 70, оставшееся на доске, является одновременно и суммой (решением), и одним из чисел в исходной последовательности. Таким образом, "Колино решение" — это найденная им сумма.

Ответ: Коля записал на доске числа: -56, -42, -28, -14, 0, 14, 28, 42, 56, 70. Решением, которое он нашел, была их сумма, равная 70.