Страница 264 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1010 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вы путешествуете по железной дороге по маршруту Москва — Волоколамск — Ржев. Ниже даны два расписания движения электропоездов.

Москва — Волоколамск

Время отправления Время прибытия

5.45 7.50

6.32 8.35

8.05 10.00

10.15 12.30

13.20 15.35

15.35 17.40

17.55 20.15

19.00 21.10

21.10 23.25

Волоколамск — Ржев

Время отправления Время прибытия

9.30 11.10

11.30 13.10

13.45 15.25

21.00 22.40

1) Сколько времени займёт поездка, если выехать из Москвы в 5 ч 45 мин и в Волоколамске сесть на ближайшую электричку?

2) Успеете ли вы на последнюю электричку из Волоколамска, если выедете из Москвы в 19 ч?

3) Сколько времени вам придётся ждать в Волоколамске, если вы выезжаете из Москвы в 15 ч 35 мин?

4) Подберите два электропоезда — в Москве и в Волоколамске — так, чтобы время на пересадку было наименьшим.

1) Чтобы найти общее время поездки, нужно определить весь маршрут.
1. Поездка из Москвы в Волоколамск: отправление в 5:45, прибытие в 7:50.
2. В Волоколамске нужно сесть на ближайшую электричку до Ржева. Время прибытия 7:50. Смотрим расписание Волоколамск — Ржев: ближайший поезд отправляется в 9:30.
3. Поездка из Волоколамска в Ржев: отправление в 9:30, прибытие в 11:10.
4. Общее время в пути равно разнице между временем прибытия в конечный пункт (Ржев) и временем отправления из начального пункта (Москва).
$11 \text{ ч } 10 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 10 \text{ ч } 70 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 5 \text{ ч } 25 \text{ мин }$.
Ответ: Поездка займёт 5 часов 25 минут.

2) 1. Находим время прибытия в Волоколамск, если выехать из Москвы в 19:00. Согласно расписанию, электропоезд, отправляющийся из Москвы в 19:00, прибывает в Волоколамск в 21:10.
2. Находим время отправления последней электрички из Волоколамска. Согласно расписанию Волоколамск — Ржев, последняя электричка отправляется в 21:00.
3. Сравниваем время прибытия в Волоколамск (21:10) и время отправления последней электрички из Волоколамска (21:00).
$21:10 > 21:00$.
Поскольку поезд из Москвы прибывает в Волоколамск на 10 минут позже, чем отправляется последняя электричка в Ржев, вы на неё не успеете.
Ответ: Нет, не успеете.

3) 1. Находим время прибытия в Волоколамск. Поезд, отправляющийся из Москвы в 15:35, прибывает в Волоколамск в 17:40.
2. Находим ближайший по времени поезд из Волоколамска в Ржев. После 17:40 ближайший поезд отправляется в 21:00.
3. Рассчитываем время ожидания как разницу между временем отправления из Волоколамска и временем прибытия в Волоколамск.
$21 \text{ ч } 00 \text{ мин } - 17 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 20 \text{ ч } 60 \text{ мин } - 17 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин }$.
Ответ: Придётся ждать 3 часа 20 минут.

4) Чтобы найти наименьшее время на пересадку, необходимо рассчитать время ожидания для каждой возможной стыковки рейсов и выбрать наименьшее.
- Прибытие в 7:50 (из Москвы в 5:45) → Отправление в 9:30. Ожидание: $9:30 - 7:50 = 1$ ч $40$ мин.
- Прибытие в 8:35 (из Москвы в 6:32) → Отправление в 9:30. Ожидание: $9:30 - 8:35 = 55$ мин.
- Прибытие в 10:00 (из Москвы в 8:05) → Отправление в 11:30. Ожидание: $11:30 - 10:00 = 1$ ч $30$ мин.
- Прибытие в 12:30 (из Москвы в 10:15) → Отправление в 13:45. Ожидание: $13:45 - 12:30 = 1$ ч $15$ мин.
- Прибытие в 15:35 (из Москвы в 13:20) → Отправление в 21:00. Ожидание: $21:00 - 15:35 = 5$ ч $25$ мин.
- Прибытие в 17:40 (из Москвы в 15:35) → Отправление в 21:00. Ожидание: $21:00 - 17:40 = 3$ ч $20$ мин.
- Прибытие в 20:15 (из Москвы в 17:55) → Отправление в 21:00. Ожидание: $21:00 - 20:15 = 45$ мин.
Сравнив все варианты, видим, что наименьшее время ожидания составляет 45 минут.
Ответ: Нужно сесть на электропоезд, отправляющийся из Москвы в 17:55, и сделать пересадку на электропоезд, отправляющийся из Волоколамска в 21:00.

1011 a) Запишите пять чисел, о которых известно, что первое число равно $\frac{4}{9}$, а каждое следующее получается умножением предыдущего на $1\frac{1}{2}$. Какое число больше — первое или последнее?

б) Запишите пять чисел, о которых известно, что первое число равно $\frac{4}{9}$, а каждое следующее получается умножением предыдущего на $\frac{1}{2}$. Какое число больше — первое или последнее?

а) Согласно условию, первое число равно $ \frac{4}{9} $. Каждое следующее число получается умножением предыдущего на $ 1\frac{1}{2} $.
Сначала преобразуем смешанное число $ 1\frac{1}{2} $ в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $.
Теперь найдем последовательно все пять чисел:
1. Первое число: $ \frac{4}{9} $
2. Второе число: $ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $
3. Третье число: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 1 $
4. Четвертое число: $ 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $
5. Пятое число: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} $
Получилась последовательность из пяти чисел: $ \frac{4}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{3}{2}, \frac{9}{4} $.
Теперь сравним первое число ($ \frac{4}{9} $) и последнее ($ \frac{9}{4} $). Для этого приведем их к общему знаменателю 36:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
$ \frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{81}{36} $
Поскольку $ 16 < 81 $, то $ \frac{16}{36} < \frac{81}{36} $, а значит $ \frac{4}{9} < \frac{9}{4} $.
Вывод можно было сделать и без вычислений: так как каждое следующее число получается умножением на число $ 1\frac{1}{2} $, которое больше единицы, то каждое следующее число будет больше предыдущего. Следовательно, последнее число больше первого.
Ответ: Пять чисел: $ \frac{4}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{3}{2}, \frac{9}{4} $. Последнее число больше первого.

б) Согласно условию, первое число равно $ \frac{4}{9} $. Каждое следующее число получается умножением предыдущего на $ \frac{1}{2} $.
Найдем последовательно все пять чисел:
1. Первое число: $ \frac{4}{9} $
2. Второе число: $ \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $
3. Третье число: $ \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $
4. Четвертое число: $ \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18} $
5. Пятое число: $ \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{36} $
Получилась последовательность из пяти чисел: $ \frac{4}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}, \frac{1}{18}, \frac{1}{36} $.
Теперь сравним первое число ($ \frac{4}{9} $) и последнее ($ \frac{1}{36} $). Для этого приведем первую дробь к знаменателю 36:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
Поскольку $ 16 > 1 $, то $ \frac{16}{36} > \frac{1}{36} $, а значит $ \frac{4}{9} > \frac{1}{36} $.
Вывод можно было сделать и без вычислений: так как каждое следующее число получается умножением на число $ \frac{1}{2} $, которое меньше единицы, то каждое следующее число будет меньше предыдущего. Следовательно, первое число больше последнего.
Ответ: Пять чисел: $ \frac{4}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}, \frac{1}{18}, \frac{1}{36} $. Первое число больше последнего.