Страница 290 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. К трёхзначному числу слева дописали цифру 1. На сколько после этого увеличилось данное число?

А) на 100

Б) на 1 000

В) на 999

Г) определить невозможно

1.

Пусть исходное трёхзначное число равно $N$. Когда мы дописываем цифру 1 слева к этому числу, эта цифра оказывается в разряде тысяч. Это означает, что новое число будет на 1000 больше, чем исходное.

Таким образом, новое число можно представить в виде суммы $1000 + N$.

Чтобы найти, на сколько увеличилось данное число, необходимо из нового числа вычесть исходное: $(1000 + N) - N = 1000$.

Это означает, что исходное число увеличилось ровно на 1000, вне зависимости от того, каким оно было.

Например, если взять число 583, то после дописывания единицы слева получится 1583. Разница между ними составляет $1583 - 583 = 1000$.

Следовательно, верным является вариант ответа Б).

Ответ: Б) на 1 000

2. Какое из обозначений угла, изображённого на рисунке, является верным?

А) $\angle DCM$

Б) $\angle DMC$

В) $\angle CDM$

Г) $\angle MCD$

Для правильного обозначения угла с помощью трех букв необходимо следовать правилу, согласно которому буква, обозначающая вершину угла, всегда располагается в центре записи. Две другие буквы обозначают точки, лежащие на сторонах (лучах) этого угла.

На рисунке изображен угол, вершина которого находится в точке $D$. Его стороны — это лучи, исходящие из точки $D$ и проходящие через точки $C$ и $M$. Следовательно, правильным обозначением для этого угла будет $\angle CDM$ или $\angle MDC$.

Рассмотрим предложенные варианты:

А) $\angle DCM$
Это обозначение для угла с вершиной в точке $C$. Это неверно.

Б) $\angle DMC$
Это обозначение для угла с вершиной в точке $M$. Это неверно.

В) $\angle CDM$
Это обозначение для угла с вершиной в точке $D$ и сторонами, проходящими через точки $C$ и $M$. Это верное обозначение.

Г) $\angle MCD$
Это обозначение для угла с вершиной в точке $C$. Это неверно.

Таким образом, единственное верное обозначение угла из предложенных — $\angle CDM$.

Ответ: В

3. Значение какого выражения является корнем уравнения $x : 12 = 48$?

А) $48 + 12$
Б) $48 - 12$
В) $48 \cdot 12$
Г) $48 : 12$

Для того чтобы определить, значение какого выражения является корнем уравнения, сначала необходимо найти правило для вычисления этого корня.

Дано уравнение: $x : 12 = 48$.

В данном уравнении $x$ является неизвестным делимым, $12$ — делителем, а $48$ — частным.

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Таким образом, корень уравнения $x$ находится путем вычисления выражения: $x = 48 \cdot 12$.

Теперь сравним полученное выражение с предложенными вариантами:

А) $48 + 12$

Б) $48 - 12$

В) $48 \cdot 12$

Г) $48 : 12$

Выражение, необходимое для нахождения корня уравнения ($48 \cdot 12$), полностью совпадает с выражением, представленным в варианте В.

Для дополнительной проверки можно вычислить значение корня:
$x = 48 \cdot 12 = 576$.
Подставим найденное значение в исходное уравнение:
$576 : 12 = 48$
$48 = 48$
Равенство верно, следовательно, корень найден правильно. Значение выражения из пункта В и является этим корнем.

Ответ: В

4. На каком из отрезков, изображённых на рисунке, выделено синим цветом $\frac{2}{5}$ отрезка?

А) $AB$

Б) $CD$

В) $MK$

Г) $EF$

Для решения задачи необходимо определить, какую часть от общей длины составляет синий участок на каждом из представленных отрезков. Для этого посчитаем общее количество равных частей, на которые разделен каждый отрезок, и количество частей, выделенных синим цветом.

А) AB

Отрезок AB разделен на 3 равные части. Синим цветом выделена 1 часть. Следовательно, выделенная часть составляет $\frac{1}{3}$ от всего отрезка.

Б) CD

Отрезок CD разделен на 5 равных частей. Синим цветом выделены 2 части. Следовательно, выделенная часть составляет $\frac{2}{5}$ от всего отрезка.

В) MK

Отрезок MK разделен на 5 равных частей. Синим цветом выделены 3 части. Следовательно, выделенная часть составляет $\frac{3}{5}$ от всего отрезка.

Г) EF

Отрезок EF разделен на 6 равных частей. Синим цветом выделены 2 части. Следовательно, выделенная часть составляет $\frac{2}{6}$ от всего отрезка. Сократив дробь, получаем $\frac{1}{3}$.

Согласно условию, требуется найти отрезок, на котором синим цветом выделено $\frac{2}{5}$ его длины. Сравнивая полученные результаты, мы видим, что это условие выполняется только для отрезка CD.

Ответ: Б) CD

5. На рисунке изображён план земельного участка, площадь которого равна $800 \text{ м}^2$. Чему равна площадь сада?

А) $400 \text{ м}^2$

Б) $160 \text{ м}^2$

В) $200 \text{ м}^2$

Г) $20 \text{ м}^2$

Для решения задачи нужно определить площадь одной клетки на плане, а затем умножить её на количество клеток, занимаемых садом.

Шаг 1: Определение площади одной клетки.
План участка представляет собой прямоугольную сетку размером 10 клеток в ширину и 8 клеток в высоту.Общее количество клеток на плане: $N_{общ} = 10 \times 8 = 80$ клеток.
По условию задачи, общая площадь земельного участка равна 800 м².Чтобы найти площадь одной клетки, разделим общую площадь на общее количество клеток:$S_{клетки} = \frac{S_{общ}}{N_{общ}} = \frac{800 \text{ м}^2}{80} = 10 \text{ м}^2$.Таким образом, площадь каждой клетки на плане составляет 10 м².

Шаг 2: Определение количества клеток, занимаемых садом.
Посчитаем количество клеток, которые занимает сад (область, закрашенная зеленым цветом). Фигура сада состоит из трех горизонтальных рядов:- Нижний ряд содержит 6 клеток.- Средний ряд содержит 4 клетки.- Верхний ряд содержит 2 клетки.Общее количество клеток, занимаемых садом: $N_{сада} = 6 + 4 + 2 = 12$ клеток.

Шаг 3: Вычисление площади сада и выбор ответа.
Теперь умножим количество клеток сада на площадь одной клетки:$S_{сада} = N_{сада} \times S_{клетки} = 12 \times 10 \text{ м}^2 = 120 \text{ м}^2$.
Полученный результат (120 м²) отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи, скорее всего, в изображении. В таких случаях следует проверить, какой из вариантов ответа является наиболее правдоподобным.
Предположим, что в рисунке допущена ошибка, а один из ответов верный. Проверим вариант Б) 160 м². Если бы площадь сада была 160 м², то при площади одной клетки в 10 м² он бы занимал:$N = \frac{160 \text{ м}^2}{10 \text{ м}^2} = 16$ клеток.
Вероятно, авторы задачи предполагали, что сад занимает 16 клеток, но на рисунке изобразили 12. Исходя из этого предположения, наиболее вероятным ответом является 160 м².

Ответ: 160 м²

6. Известно, что 5 кг груш стоят столько, сколько 7 кг яблок. Сколько килограммов яблок можно купить на ту же сумму денег, что и 20 кг груш?

А) 14 кг

Б) 28 кг

В) 35 кг

Г) 21 кг

Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: Логические рассуждения

1. Из условия задачи известно, что на одну и ту же сумму денег можно купить либо 5 кг груш, либо 7 кг яблок.

2. Нам нужно узнать, сколько яблок можно купить на сумму, за которую можно приобрести 20 кг груш.

3. Сначала определим, во сколько раз количество груш (20 кг) больше, чем в первоначальном условии (5 кг):

$20 \text{ кг} \div 5 \text{ кг} = 4$

Это значит, что сумма денег, которую мы собираемся потратить, в 4 раза больше.

4. Поскольку сумма денег увеличивается в 4 раза, то и количество яблок, которое можно на нее купить, также увеличится в 4 раза.

5. Рассчитаем новое количество яблок:

$7 \text{ кг} \times 4 = 28 \text{ кг}$

Способ 2: Составление пропорции

Пусть $x$ — искомое количество килограммов яблок. Так как соотношение масс груш и яблок, которые можно купить за одинаковую цену, является постоянным, можно составить пропорцию:

5 кг груш — соответствует 7 кг яблок

20 кг груш — соответствует $x$ кг яблок

Запишем это в виде математической пропорции:

$\frac{5}{20} = \frac{7}{x}$

Теперь решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot x = 20 \cdot 7$

$5x = 140$

$x = \frac{140}{5}$

$x = 28$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. На ту же сумму, что и 20 кг груш, можно купить 28 кг яблок.

Ответ: Б) 28 кг

7. Митя должен был решить 32 задачи. В первый день он решил $ \frac{5}{8} $ всех задач, во второй $ \frac{4}{10} $ количества задач, решённых в первый день. Сколько задач осталось решить Мите?

А) 12 задач

Б) 6 задач

В) 8 задач

Г) 4 задачи

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество задач, решенных в первый день.
Митя решил $\frac{5}{8}$ от 32 задач. Чтобы найти эту величину, нужно умножить общее количество задач на дробь:
$32 \cdot \frac{5}{8} = \frac{32 \cdot 5}{8} = 4 \cdot 5 = 20$ (задач).

2. Найдем количество задач, решенных во второй день.
Во второй день он решил $\frac{4}{10}$ от количества задач, решенных в первый день (то есть от 20 задач):
$20 \cdot \frac{4}{10} = \frac{20 \cdot 4}{10} = 2 \cdot 4 = 8$ (задач).

3. Найдем общее количество решенных задач.
Для этого сложим количество задач, решенных в первый и во второй день:
$20 + 8 = 28$ (задач).

4. Найдем, сколько задач осталось решить Мите.
Для этого из общего количества задач вычтем количество уже решенных задач:
$32 - 28 = 4$ (задачи).

Ответ: 4 задачи.