Страница 291 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Какому из данных чисел равна дробь $\frac{1}{5}$?

А) 0,5

Б) 0,05

В) 0,2

Г) 0,02

Чтобы определить, какому из предложенных десятичных чисел равна обыкновенная дробь $ \frac{1}{5} $, необходимо преобразовать её в десятичную дробь.

Способ 1: Деление числителя на знаменатель.

Разделим числитель 1 на знаменатель 5:

$ 1 \div 5 = 0,2 $

Способ 2: Приведение к знаменателю 10.

Для того чтобы знаменатель стал равен 10, нужно умножить его на 2. Чтобы значение дроби не изменилось, на 2 нужно умножить и числитель:

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} $

Дробь $ \frac{2}{10} $ (две десятых) в десятичной форме записывается как 0,2.

Теперь сравним полученный результат с вариантами ответа:

А) 0,5. Неверно. $ 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $.

Б) 0,05. Неверно. $ 0,05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} $.

В) 0,2. Верно. $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.

Г) 0,02. Неверно. $ 0,02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{50} $.

Следовательно, дробь $ \frac{1}{5} $ равна числу 0,2.

Ответ: В) 0,2

9. Какая из данных записей является записью $6 \%$ в виде десятичной дроби?

А) $6$

Б) $0,6$

В) $0,06$

Г) $0,006$

Процент — это одна сотая часть от какого-либо числа. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, необходимо число процентов разделить на 100.

В задаче требуется представить 6% в виде десятичной дроби. Для этого выполним следующее действие:

$6\% = \frac{6}{100}$

При делении числа 6 на 100 мы получаем десятичную дробь. Это можно сделать, переместив запятую в числе 6 (которая находится после цифры, то есть 6,0) на два знака влево.

$6 \div 100 = 0,06$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов:

А) 6
Б) 0,6 (что соответствует 60%)
В) 0,06 (что соответствует 6%)
Г) 0,006 (что соответствует 0,6%)

Следовательно, запись 6% в виде десятичной дроби — это 0,06, что соответствует варианту В).

Ответ: В) 0,06

10. На столе лежали конфеты. Сначала взяли 50 % конфет, а затем 50 % оставшихся. После этого на столе осталось 10 конфет. Сколько конфет было на столе сначала?

А) 40 конфет

Б) 50 конфет

В) 80 конфет

Г) 100 конфет

Для нахождения первоначального количества конфет можно использовать два логических подхода.

Способ 1: Решение с помощью уравнения

Пусть $x$ — это первоначальное количество конфет на столе.

1. Сначала взяли 50% конфет. На столе осталось $100\% - 50\% = 50\%$ от первоначального количества. Математически это выражается как:
$x - 0.5 \cdot x = 0.5x$

2. Затем взяли 50% от оставшихся конфет. Это значит, что от количества $0.5x$ осталась только половина (50%):
$0.5 \cdot (0.5x) = 0.25x$

3. По условию, это конечное количество конфет равно 10. Составим и решим уравнение:
$0.25x = 10$
$x = \frac{10}{0.25}$
$x = 40$

Таким образом, изначально на столе было 40 конфет.

Способ 2: Решение в обратном порядке ("с конца")

1. В самом конце на столе осталось 10 конфет. Эти 10 конфет представляют собой 50% (половину) того количества, которое было перед тем, как взяли конфеты во второй раз. Значит, до второго забора на столе было в два раза больше:
$10 \cdot 2 = 20$ конфет.

2. Эти 20 конфет, в свою очередь, являются остатком (50% или половиной) от самого начального количества конфет. Следовательно, в самом начале на столе было в два раза больше, чем 20:
$20 \cdot 2 = 40$ конфет.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 40 конфет.

11. Собрали набор из четырёх сортов конфет по цене 268 р., 192 р., 204 р. и 336 р. за килограмм, взяв каждого сорта по 1 кг.

Сколько рублей стоит килограмм полученного набора конфет?

А) 230 р.

Б) 200 р.

В) 240 р.

Г) 250 р.

Для того чтобы найти стоимость одного килограмма полученного набора конфет, необходимо найти его среднюю цену. Поскольку каждого сорта конфет взяли одинаковое количество (по 1 кг), средняя цена будет равна среднему арифметическому цен всех сортов.

1. Сначала вычислим общую стоимость всех конфет в наборе. Для этого сложим цены за килограмм каждого сорта:
$268 + 192 + 204 + 336 = 1000$ рублей.

2. Затем определим общий вес набора. Взяли 4 сорта конфет по 1 кг каждого, следовательно, общий вес составляет:
$1 + 1 + 1 + 1 = 4$ кг.

3. Теперь найдем стоимость одного килограмма полученного набора. Для этого разделим общую стоимость на общий вес:
$\frac{1000 \text{ рублей}}{4 \text{ кг}} = 250$ рублей/кг.

Таким образом, килограмм полученного набора конфет стоит 250 рублей.

Ответ: 250 р.

12. Чему равно значение выражения $(7 \cdot 1.2 - 1.2) : 0.06?$

А) 0

Б) 12

В) 120

Г) 1.2

Для того чтобы найти значение выражения $(7 \cdot 1,2 - 1,2) : 0,06$, необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), а после — деление.

1. Вычисление в скобках: $7 \cdot 1,2 - 1,2$

Можно решить это двумя способами.

Способ а) По порядку действий:

Сначала выполняем умножение:

$7 \cdot 1,2 = 8,4$

Затем выполняем вычитание:

$8,4 - 1,2 = 7,2$

Способ б) Вынесение общего множителя за скобки:

Общий множитель здесь — $1,2$. Вынесем его за скобки:

$7 \cdot 1,2 - 1 \cdot 1,2 = (7 - 1) \cdot 1,2 = 6 \cdot 1,2$

Теперь выполним умножение:

$6 \cdot 1,2 = 7,2$

В обоих случаях результат выражения в скобках равен $7,2$.

2. Деление: $7,2 : 0,06$

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно избавиться от запятой в делителе. Для этого умножим и делимое ($7,2$), и делитель ($0,06$) на $100$ (так как в делителе два знака после запятой):

$7,2 : 0,06 = (7,2 \cdot 100) : (0,06 \cdot 100) = 720 : 6$

Теперь выполним деление целых чисел:

$720 : 6 = 120$

Таким образом, значение исходного выражения равно $120$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту В.

Ответ: 120

1. Сумма двух чисел равна 264. Последней цифрой первого числа является нуль. Если его зачеркнуть, то получим второе число. Найдите большее из этих чисел.

А) 240

Б) 250

В) 230

Г) 220

$F \backslash / D$

Пусть первое, большее число — это $x$, а второе, меньшее число — это $y$.

Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 264. Мы можем записать это в виде уравнения:
$x + y = 264$

Также по условию, последней цифрой первого числа ($x$) является нуль. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число ($y$). Математически это означает, что первое число в 10 раз больше второго. Например, если у числа 350 убрать последний нуль, получится 35, и действительно $350 = 10 \times 35$.
Следовательно, мы можем составить второе уравнение:
$x = 10y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x + y = 264$
2) $x = 10y$

Чтобы решить эту систему, подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$(10y) + y = 264$
$11y = 264$

Теперь найдем значение $y$:
$y = \frac{264}{11}$
$y = 24$

Мы нашли меньшее число. Теперь найдем большее число $x$, используя второе уравнение:
$x = 10 \times y = 10 \times 24 = 240$

Итак, искомые числа — это 240 и 24.

Проверим, выполняются ли условия задачи:
- Сумма чисел: $240 + 24 = 264$. Верно.
- Первое число 240 оканчивается на ноль. Если его убрать, получится 24, что равно второму числу. Верно.

В задаче требуется найти большее из этих чисел. Сравнивая 240 и 24, мы видим, что большее число — 240.

Ответ: 240

2. Вычислите градусную меру угла DBF, изображённого на рисунке, если известно, что $\angle ABD = \angle CBF = 100^\circ$.

A) $80^\circ$

Б) $60^\circ$

В) $20^\circ$

Г) $30^\circ$

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, угол $ \angle ABC $ является развернутым, и его градусная мера составляет 180°.

Угол $ \angle ABC $ можно представить как сумму смежных углов $ \angle ABD $ и $ \angle DBC $.
$ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $
Используя это соотношение и данные из условия ($ \angle ABD = 100° $), найдем градусную меру угла $ \angle DBC $:
$ 180° = 100° + \angle DBC $
$ \angle DBC = 180° - 100° = 80° $

Теперь рассмотрим угол $ \angle CBF $, который по условию равен 100°. Из рисунка видно, что он состоит из суммы углов $ \angle DBC $ и $ \angle DBF $.
$ \angle CBF = \angle DBC + \angle DBF $
Мы можем выразить искомый угол $ \angle DBF $:
$ \angle DBF = \angle CBF - \angle DBC $

Подставим известные и вычисленные значения в эту формулу:
$ \angle DBF = 100° - 80° = 20° $

Ответ: В) 20°

3. Сколько четырёхугольников изображено на рисунке?

А) 2

Б) 4

В) 6

Г) 8

Чтобы найти все четырёхугольники на рисунке, будем действовать систематически. Обозначим вершины шестиугольника буквами A, B, C, D, E, F, двигаясь по часовой стрелке от левой верхней вершины. Точку пересечения диагоналей AD и FC обозначим как G.

Теперь подсчитаем все возможные четырёхугольники, сгруппировав их по типам:

1. Малые четырёхугольники, которые включают в себя внутреннюю точку пересечения G в качестве одной из вершин. Таких четырёхугольников два:

• ABCG (со сторонами AB, BC, CG, GA)
• FGDE (со сторонами FG, GD, DE, EF)

2. Большие четырёхугольники, которые образованы только вершинами внешнего шестиугольника. Таких четырёхугольников можно выделить четыре:

• ABCF (фигура, ограниченная сторонами AB, BC, CF, FA)
• CDEF (фигура, ограниченная сторонами CD, DE, EF, FC)
• BCDA (фигура, ограниченная сторонами BC, CD, DA, AB)
• DEFA (фигура, ограниченная сторонами DE, EF, FA, AD)

Все перечисленные фигуры являются простыми (несамопересекающимися) четырёхугольниками, все их стороны присутствуют на рисунке.

Сложив количество четырёхугольников из обеих групп, мы получаем общее число: $2 + 4 = 6$.

Таким образом, на рисунке изображено 6 четырёхугольников, что соответствует варианту В).

Ответ: В) 6

4. Значение какого выражения является корнем уравнения $x - 12 = 48$?

А) $48 + 12$

Б) $48 - 12$

В) $48 \cdot 12$

Г) $48 : 12$

Чтобы найти, значение какого выражения является корнем уравнения, сначала необходимо решить данное уравнение.

Уравнение: $x - 12 = 48$.

В этом уравнении $x$ — это уменьшаемое, 12 — вычитаемое, а 48 — разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 48 + 12$

Выражение для нахождения корня $x$ полностью совпадает с выражением из пункта А.

Проверим это, вычислив значение корня и значения всех предложенных выражений.

$x = 48 + 12 = 60$. Корень уравнения равен 60.

Теперь вычислим значения выражений:

А) $48 + 12 = 60$. Это значение совпадает с корнем уравнения.

Б) $48 - 12 = 36$. Это значение не совпадает с корнем уравнения.

В) $48 \cdot 12 = 576$. Это значение не совпадает с корнем уравнения.

Г) $48 : 12 = 4$. Это значение не совпадает с корнем уравнения.

Таким образом, значение выражения из пункта А является корнем уравнения.

Ответ: А) $48 + 12$