Страница 292 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. На одну чашу весов положили пирог, а на другую чашу — $ \frac{2}{3} $ такого же пирога и гирю массой 100 г, после чего весы пришли в равновесие. Какова масса пирога?

А) 400 г

Б) 300 г

В) 200 г

Г) 100 г

Пусть масса всего пирога равна $x$ грамм.

На одной чаше весов находится целый пирог, его масса равна $x$.

На другой чаше весов находится $\frac{2}{3}$ пирога и гиря массой 100 г. Общая масса на этой чаше составляет $\frac{2}{3}x + 100$.

Поскольку весы находятся в равновесии, массы на обеих чашах равны. Мы можем составить уравнение:

$x = \frac{2}{3}x + 100$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$x - \frac{2}{3}x = 100$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$\frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = 100$

$\frac{1}{3}x = 100$

Из этого уравнения следует, что треть пирога весит 100 г. Чтобы найти массу всего пирога ($x$), умножим обе части уравнения на 3:

$x = 100 \cdot 3$

$x = 300$

Таким образом, масса всего пирога составляет 300 грамм.

Ответ: Б) 300 г

6. При делении числа $x$ на число 12 получили $5\frac{7}{12}$. Чему равен $x$?

А) 89

Б) 47

В) 67

Г) 95

Согласно условию задачи, при делении числа $x$ на 12 в результате получается смешанное число $5\frac{7}{12}$. Это можно записать в виде уравнения:

$x : 12 = 5\frac{7}{12}$

или

$\frac{x}{12} = 5\frac{7}{12}$

Чтобы найти делимое $x$, нужно частное ($5\frac{7}{12}$) умножить на делитель (12).

$x = 5\frac{7}{12} \cdot 12$

Для вычисления преобразуем смешанное число $5\frac{7}{12}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим к результату числитель. Знаменатель останется прежним.

$5\frac{7}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{60 + 7}{12} = \frac{67}{12}$

Теперь подставим полученную дробь в наше выражение для $x$:

$x = \frac{67}{12} \cdot 12$

При умножении дроби на 12, число 12 в числителе и знаменателе сокращается:

$x = 67$

Также можно рассуждать иначе. Результат деления $5\frac{7}{12}$ означает, что при делении $x$ на 12 мы получаем неполное частное 5 и остаток 7. По определению деления с остатком:

$x = \text{делитель} \cdot \text{неполное частное} + \text{остаток}$

$x = 12 \cdot 5 + 7 = 60 + 7 = 67$

Полученное значение $x=67$ соответствует варианту ответа В).

Ответ: 67

7. Какому из данных чисел равна дробь $ \frac{1}{2} $?

A) 0,2

Б) 1,2

В) 0,5

Г) 1,5

Чтобы определить, какому из данных чисел равна дробь $\frac{1}{2}$, необходимо перевести эту обыкновенную дробь в десятичную. Для этого нужно разделить числитель дроби на её знаменатель.

Выполним деление:

$\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

А) 0,2. Сравнение: $0,2 \neq 0,5$. Вариант неверный.

Б) 1,2. Сравнение: $1,2 \neq 0,5$. Вариант неверный.

В) 0,5. Сравнение: $0,5 = 0,5$. Вариант верный.

Г) 1,5. Сравнение: $1,5 \neq 0,5$. Вариант неверный.

Таким образом, дробь $\frac{1}{2}$ равна десятичному числу 0,5.

Ответ: В) 0,5

8. Какому из данных чисел равно частное $98,7 : 0,1$?

А) 9,87

Б) 987

В) 0,987

Г) 9 870

Чтобы найти частное от деления 98,7 на 0,1, необходимо выполнить операцию деления десятичных дробей. Существует несколько способов это сделать.

Способ 1: Избавление от дроби в делителе

Основное правило деления на десятичную дробь заключается в том, чтобы перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в дробной части делителя. В нашем случае делитель — $0,1$, и у него один знак после запятой. Следовательно, мы должны перенести запятую на один знак вправо в обоих числах:

В делимом $98,7$ переносим запятую на один знак вправо, получаем $987$.

В делителе $0,1$ переносим запятую на один знак вправо, получаем $1$.

Теперь исходное выражение $98,7 : 0,1$ эквивалентно выражению $987 : 1$.

Вычисляем частное:

$987 : 1 = 987$

Способ 2: Замена деления умножением

Деление на число эквивалентно умножению на обратное ему число. Число $0,1$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$. Обратным к нему будет число $10$.

Следовательно, операцию деления на $0,1$ можно заменить умножением на $10$:

$98,7 : 0,1 = 98,7 \times 10$

При умножении десятичной дроби на $10$ запятая сдвигается на один знак вправо:

$98,7 \times 10 = 987$

Оба способа приводят к одному и тому же результату — $987$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

А) 9,87

Б) 987

В) 0,987

Г) 9 870

Правильный ответ соответствует варианту Б).

Ответ: Б) 987

9. Какое число должно стоять в начале цепочки вычислений?

$\square : 0,9 \to \bigcirc - 1,4 \to \bigcirc : 7 \to \bigcirc \cdot 0,15 \to \square 0,12$

А) 51,66
Б) 7,2
В) 6,3
Г) 5,04

Чтобы найти число, которое должно стоять в начале цепочки вычислений, нужно выполнить все действия в обратном порядке, заменяя каждое действие на противоположное. Мы начнем с конечного результата (0,12) и будем двигаться справа налево.

1. Последнее действие в цепочке — умножение на 0,15. Обратное действие — деление. Найдем число в последнем круге:

   $0,12 : 0,15 = \frac{12}{100} : \frac{15}{100} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$

2. Действие перед этим — деление на 7. Обратное действие — умножение. Найдем число в предпоследнем круге:

   $0,8 \cdot 7 = 5,6$

3. Следующее действие — вычитание 1,4. Обратное действие — сложение. Найдем число в первом круге:

   $5,6 + 1,4 = 7,0$

4. Первое действие в цепочке — деление на 0,9. Обратное действие — умножение. Найдем искомое начальное число:

   $7,0 \cdot 0,9 = 6,3$

Таким образом, в начале цепочки должно стоять число 6,3.

Ответ: В) 6,3

10. Укажите неверное равенство.

А) $2 \text{ м } 6 \text{ дм } = 2,6 \text{ м}$

В) $4 \text{ кг } 65 \text{ г } = 4,65 \text{ кг}$

Б) $3 \text{ км } 275 \text{ м } = 3,275 \text{ км}$

Г) $18 \text{ ц } 7 \text{ кг } = 1807 \text{ кг}$

Для того чтобы определить неверное равенство, необходимо проверить корректность каждого из предложенных вариантов.

А) 2 м 6 дм = 2,6 м

В одном метре 10 дециметров ($1\text{ м} = 10\text{ дм}$), поэтому 6 дм составляют $6 \div 10 = 0,6$ метра. Складывая целую и дробную части, получаем: $2\text{ м} + 0,6\text{ м} = 2,6\text{ м}$. Равенство является верным.

Б) 3 км 275 м = 3,275 км

В одном километре 1000 метров ($1\text{ км} = 1000\text{ м}$), поэтому 275 м составляют $275 \div 1000 = 0,275$ километра. Складывая целую и дробную части, получаем: $3\text{ км} + 0,275\text{ км} = 3,275\text{ км}$. Равенство является верным.

В) 4 кг 65 г = 4,65 кг

В одном килограмме 1000 граммов ($1\text{ кг} = 1000\text{ г}$), поэтому 65 г составляют $65 \div 1000 = 0,065$ килограмма. Складывая целую и дробную части, получаем: $4\text{ кг} + 0,065\text{ кг} = 4,065\text{ кг}$. В предложенном равенстве указано значение $4,65$ кг. Так как $4,065 \ne 4,65$, данное равенство является неверным.

Г) 18 ц 7 кг = 1807 кг

В одном центнере 100 килограммов ($1\text{ ц} = 100\text{ кг}$), поэтому 18 ц составляют $18 \times 100 = 1800$ килограммов. Добавляя оставшиеся килограммы, получаем: $1800\text{ кг} + 7\text{ кг} = 1807\text{ кг}$. Равенство является верным.

Таким образом, единственное неверное равенство представлено в пункте В.

Ответ: В

11. В трёх вазах было 18 роз. Сначала из первой вазы переставили во вторую 3 розы, а потом из второй в третью — 5 роз, после чего роз во всех вазах стало поровну. Сколько роз было сначала во второй вазе?

А) 3 розы

Б) 8 роз

В) 12 роз

Г) 7 роз

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать в обратном порядке, начиная с конечного результата.

1. Конечное состояние

В конце во всех трех вазах стало поровну роз. Поскольку общее количество роз равно 18, то в каждой вазе оказалось:

$18 \div 3 = 6$ роз.

Итак, после всех перестановок в каждой из трех ваз было по 6 роз.

2. Отмена последнего действия

Последним действием было то, что из второй вазы в третью переставили 5 роз. Чтобы узнать, сколько роз было до этого, нужно "вернуть" 5 роз из третьей вазы обратно во вторую:

- Во второй вазе стало: $6 + 5 = 11$ роз.
- В третьей вазе стало: $6 - 5 = 1$ роза.
- В первой вазе количество роз на этом шаге не менялось, поэтому в ней оставалось 6 роз.

3. Отмена первого действия

Самым первым действием из первой вазы во вторую переставили 3 розы. Чтобы найти первоначальное количество, нужно "вернуть" эти 3 розы из второй вазы обратно в первую, используя данные предыдущего шага:

- Во второй вазе изначально было: $11 - 3 = 8$ роз.
- В первой вазе изначально было: $6 + 3 = 9$ роз.
- В третьей вазе на этом шаге количество роз не менялось, так и осталась 1 роза.

Таким образом, первоначальное распределение роз по вазам было: 9 роз в первой, 8 во второй и 1 в третьей. Проверим общую сумму: $9 + 8 + 1 = 18$. Все верно.

Вопрос задачи: сколько роз было сначала во второй вазе?

Ответ: 8 роз.

12. Книга стоила 120 р. Потом её цена повысилась на 20 %. Какова новая цена книги?

А) 144 р.

Б) 140 р.

В) 156 р.

Г) 150 р.

Первоначальная цена книги составляет 120 рублей. Согласно условию, цена повысилась на 20%. Чтобы найти новую цену, необходимо сначала рассчитать, на сколько рублей она увеличилась, а затем прибавить эту сумму к первоначальной стоимости.

1. Найдём величину повышения цены. Для этого вычислим 20% от 120 рублей. Процент можно представить в виде десятичной дроби: $20\% = \frac{20}{100} = 0.2$.
Сумма повышения = $120 \cdot 0.2 = 24$ рубля.

2. Теперь найдём новую цену, прибавив сумму повышения к первоначальной цене:
Новая цена = $120 + 24 = 144$ рубля.

Также можно решить задачу одним действием. Если цена увеличилась на 20%, то новая цена составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от старой. Переведём 120% в десятичную дробь: $1.2$.
Новая цена = $120 \cdot 1.2 = 144$ рубля.

Ответ: 144 р.