Страница 286 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна разность шестизначного и пятизначного чисел, для записи которых использована только цифра 1?

А) 100 000
Б) 10 000
В) 1 000 000
Г) 1 000

Для того чтобы найти разность, сначала определим, о каких числах идет речь в условии задачи.

Шестизначное число, для записи которого использована только цифра 1, представляет собой шесть единиц подряд: $111111$.

Пятизначное число, для записи которого использована только цифра 1, представляет собой пять единиц подряд: $11111$.

Теперь вычислим разность этих двух чисел, вычтя из большего числа меньшее:

$111111 - 11111 = 100000$

Таким образом, разность шестизначного и пятизначного чисел, состоящих только из единиц, равна 100 000. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А).

Ответ: 100 000

2. На луче $\vec{AB}$, изображённом на рисунке, отметили точки $M, K, P$. Сколько всего лучей изображено на рисунке?

А) 4 луча

Б) 3 луча

В) 5 лучей

Г) 2 луча

По определению, луч — это часть прямой линии, которая имеет точку начала и продолжается бесконечно в одном направлении. Каждая точка на прямой может служить началом нового луча.

На рисунке мы видим луч, начинающийся в точке A, и на нем отмечены еще три точки: M, K и P. Каждая из этих четырех точек (A, M, K, P) является началом для отдельного луча, который является частью исходной прямой и направлен в ту же сторону.

Перечислим все лучи, которые можно увидеть на данном рисунке:
1. Луч, начинающийся в точке A (луч AB).
2. Луч, начинающийся в точке M.
3. Луч, начинающийся в точке K.
4. Луч, начинающийся в точке P.

Поскольку у каждого из этих лучей своя уникальная начальная точка, они все являются различными лучами. Таким образом, общее количество лучей на рисунке равно количеству отмеченных на нем точек, то есть 4.

Ответ: А) 4 луча

3. Известно, что $24\ast5 > 2475$. Какая из цифр 0, 4, 7, 8 может стоять вместо звёздочки?

А) 0

Б) 4

В) 8

Г) 7

Дано неравенство $24*5 > 2475$. Необходимо определить, какая из предложенных цифр (0, 4, 7, 8) может стоять на месте звёздочки, чтобы это неравенство было верным.

Для сравнения двух натуральных чисел с одинаковым количеством разрядов, их сравнивают поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда. Большим будет то число, у которого цифра в первом несовпадающем разряде больше.

Сравним числа $24*5$ и $2475$ по разрядам:

• Цифры в разряде тысяч совпадают: $2 = 2$.
• Цифры в разряде сотен совпадают: $4 = 4$.

Поскольку первые два старших разряда у чисел одинаковы, результат сравнения будет зависеть от цифр в следующем разряде — разряде десятков. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде десятков (на месте звёздочки) должна быть строго больше цифры в разряде десятков второго числа, которая равна 7.

Таким образом, мы ищем цифру, которая удовлетворяет условию: $* > 7$.

Теперь проверим каждую из предложенных в вариантах ответа цифр.

А)

Проверим цифру 0. Подставим её в наше условие: $0 > 7$. Это неверно. При подстановке в исходное неравенство получим $2405 > 2475$, что является ложью, так как $2405 < 2475$.
Ответ: цифра 0 не подходит.

Б)

Проверим цифру 4. Подставим её в наше условие: $4 > 7$. Это неверно. При подстановке в исходное неравенство получим $2445 > 2475$, что является ложью, так как $2445 < 2475$.
Ответ: цифра 4 не подходит.

В)

Проверим цифру 8. Подставим её в наше условие: $8 > 7$. Это верно. При подстановке в исходное неравенство получим $2485 > 2475$, что является истиной.
Ответ: цифра 8 подходит.

Г)

Проверим цифру 7. Подставим её в наше условие: $7 > 7$. Это неверно, так как $7 = 7$. Неравенство в задаче строгое, поэтому равенство чисел не подходит. При подстановке 7 получим $2475 > 2475$, что является ложью.
Ответ: цифра 7 не подходит.

В результате проверки мы установили, что единственная цифра из предложенных, которая делает неравенство верным, — это 8.

4. Корнем какого из следующих уравнений не является число 5?

А) $x + 20 = 20 + x$

В) $0 \cdot x = 10$

Б) $x \cdot x \cdot x + 25 = 150$

Г) $x + 12 = 22 - x$

Чтобы определить, корнем какого из следующих уравнений не является число 5, нужно подставить $x=5$ в каждое уравнение и проверить, получается ли верное числовое равенство. Если равенство оказывается неверным, то число 5 не является корнем данного уравнения.

А) $x + 20 = 20 + x$
Подставляем $x = 5$: $5 + 20 = 20 + 5$, что приводит к верному равенству $25 = 25$. Ответ: Число 5 является корнем этого уравнения.

Б) $x \cdot x + 25 = 150$
Подставляем $x = 5$: $5 \cdot 5 + 25 = 150$, что приводит к равенству $25 + 25 = 150$, или $50 = 150$. Это неверное равенство. Ответ: Число 5 не является корнем этого уравнения.

В) $0 \cdot x = 10$
Подставляем $x = 5$: $0 \cdot 5 = 10$, что приводит к неверному равенству $0 = 10$. Ответ: Число 5 не является корнем этого уравнения.

Г) $x + 12 = 22 - x$
Подставляем $x = 5$: $5 + 12 = 22 - 5$, что приводит к верному равенству $17 = 17$. Ответ: Число 5 является корнем этого уравнения.

В результате проверки мы видим, что число 5 не является корнем уравнений Б и В. В задачах с выбором одного ответа, как правило, имеется в виду уравнение, которое в принципе имеет корни, но данное число к ним не относится. Уравнение В ($0 \cdot x = 10$) является противоречием и не имеет корней вообще. Уравнение Б ($x \cdot x + 25 = 150$) имеет действительные корни ($x = \pm\sqrt{125}$), но 5 не является одним из них. Таким образом, наиболее подходящим ответом является уравнение Б.

5. Из Вишнёвого в Яблоневое есть 2 дороги, из Яблоневого в Грушевое — 3 дороги, а из Грушевого в Кукурузное — 2. Сколькими разными способами можно добраться из Вишнёвого в Кукурузное?

Вишнёвое Яблоневое Грушевое Кукурузное

А) 7 способами

Б) 10 способами

В) 8 способами

Г) 12 способами

Чтобы найти общее количество способов добраться из Вишнёвого в Кукурузное, нужно использовать правило умножения в комбинаторике. Весь маршрут состоит из трёх последовательных участков.

1. Из Вишнёвого в Яблоневое:
Согласно условию, на этом участке есть 2 дороги.

2. Из Яблоневого в Грушевое:
На этом участке есть 3 дороги.

3. Из Грушевого в Кукурузное:
На этом участке есть 2 дороги.

Для каждого выбора дороги на первом участке (2 варианта) существует 3 варианта продолжения пути на втором участке. В свою очередь, для каждой из полученных комбинаций существует 2 варианта продолжения на третьем участке. Поэтому, чтобы найти общее число различных маршрутов, необходимо перемножить количество дорог на каждом участке.

Вычислим общее количество способов $N$:
$N = 2 \times 3 \times 2 = 12$

Таким образом, существует 12 различных способов добраться из Вишнёвого в Кукурузное, что соответствует варианту ответа Г.

Ответ: Г) 12 способами

6. Значение какого выражения является корнем уравнения

$56 : x = 8$?

A) $56 \cdot 8$

Б) $56 : 8$

В) $56 - 8$

Г) $56 + 8$

Для того чтобы определить, значение какого выражения является корнем уравнения, сначала необходимо найти сам корень этого уравнения.

Дано уравнение:

$56 : x = 8$

В этом уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (56) разделить на частное (8).

$x = 56 : 8$

$x = 7$

Таким образом, корень уравнения равен 7.

Теперь вычислим значения каждого из предложенных выражений и сравним их с найденным корнем.

А) $56 \cdot 8 = 448$

Б) $56 : 8 = 7$

В) $56 - 8 = 48$

Г) $56 + 8 = 64$

Сравнивая полученные результаты с корнем уравнения (7), мы видим, что значение выражения Б) совпадает с ним.

Ответ: Б

7. Определите объём прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 10 см, ширина — 4 см, а высота на 5 см больше длины.

А) 200 $\text{см}^3$

Б) 360 $\text{см}^3$

В) 600 $\text{см}^3$

Г) 900 $\text{см}^3$

Для того чтобы определить объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо найти произведение его длины, ширины и высоты. Формула для расчёта объёма ($V$): $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, $h$ – высота.

Согласно условиям задачи:
Длина ($l$) = 10 см.
Ширина ($w$) = 4 см.

Высота ($h$) на 5 см больше длины. Найдём её значение:
$h = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Теперь, зная все три измерения, мы можем рассчитать объём параллелепипеда:
$V = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 15 \text{ см}$

Выполним вычисления:
$V = 40 \text{ см}^2 \cdot 15 \text{ см} = 600 \text{ см}^3$

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда равен 600 см³. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 600 см³

8. Чему равна координата точки А, изображённой на рисунке?

А) 5

В) $ \frac{5}{8} $

Б) 8

Г) $ \frac{3}{8} $

Для определения координаты точки A на числовой оси необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, на сколько равных частей разделен единичный отрезок. На изображении отрезок от 0 до 1 разделен на 8 равных интервалов. Следовательно, длина каждого интервала (цена деления) составляет $ \frac{1}{8} $.

2. Посчитать, сколько таких интервалов от начала координат (точки 0) до точки A. Отсчитав деления от 0 вправо, мы видим, что точка A расположена на 5-м делении.

3. Чтобы найти координату точки A, нужно умножить количество делений от нуля до точки на цену одного деления.

Координата точки A = $ 5 \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8} $.

Данное значение соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $ \frac{5}{8} $