Страница 280 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1172. Машинист товарного поезда, который двигался со скоростью $36 \text{ км/ч}$, заметил, что встречный пассажирский поезд, длина которого $180 \text{ м}$, прошёл мимо него за $8 \text{ с}$. С какой скоростью двигался пассажирский поезд?

Для решения задачи воспользуемся понятием относительной скорости. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.

Пусть $v_1$ - скорость товарного поезда, а $v_2$ - искомая скорость пассажирского поезда.

$v_1 = 36 \text{ км/ч}$

$L = 180 \text{ м}$ (длина пассажирского поезда)

$t = 8 \text{ с}$ (время, за которое пассажирский поезд проехал мимо машиниста)

Относительная скорость поездов $v_{отн}$ равна:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

С точки зрения машиниста товарного поезда, пассажирский поезд длиной $L$ проезжает мимо него за время $t$. Расстояние, пройденное за это время, равно длине пассажирского поезда. Следовательно, относительную скорость можно вычислить по формуле:

$v_{отн} = \frac{L}{t}$

Для удобства вычислений приведем все величины к единой системе единиц (метры и секунды). Переведем скорость товарного поезда из км/ч в м/с:

$v_1 = 36 \text{ км/ч} = 36 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Теперь найдем относительную скорость:

$v_{отн} = \frac{180 \text{ м}}{8 \text{ с}} = 22.5 \text{ м/с}$

Зная относительную скорость и скорость товарного поезда, найдем скорость пассажирского поезда:

$v_2 = v_{отн} - v_1 = 22.5 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с} = 12.5 \text{ м/с}$

Переведем полученную скорость обратно в км/ч, так как в условии задачи скорость дана в этих единицах:

$v_2 = 12.5 \text{ м/с} = 12.5 \times 3.6 \text{ км/ч} = 45 \text{ км/ч}$

Ответ: 45 км/ч

1173. В 9 ч утра Незнайка вышел из Цветочного города в Солнечный со скоростью 3,6 км/ч. В 12 ч 30 мин следом за ним на вездеходе собственной конструкции выехали Винтик и Шпунтик. Вездеход двигался со скоростью 12 км/ч и прибыл в Солнечный город одновременно с Незнайкой. Сколько времени шёл Незнайка? Каково расстояние между Цветочным и Солнечным городами?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_Н$ – скорость Незнайки, $v_Н = 3,6$ км/ч.
• $v_В$ – скорость вездехода, $v_В = 12$ км/ч.
• $t_Н$ – время в пути Незнайки (в часах).
• $t_В$ – время в пути вездехода (в часах).
• $S$ – расстояние между городами (в км).

Незнайка вышел в 9:00, а Винтик и Шпунтик выехали в 12:30. Найдем разницу во времени их отправления:
$12 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 3 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 3,5 \text{ ч}$.
Это означает, что Незнайка был в пути на 3,5 часа дольше, чем вездеход. Таким образом, мы можем записать соотношение их времен в пути:
$t_Н = t_В + 3,5$.
Поскольку они вышли из одного города и прибыли в другой одновременно, они преодолели одинаковое расстояние $S$. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Запишем уравнения для Незнайки и вездехода:
$S = v_Н \cdot t_Н = 3,6 \cdot t_Н$
$S = v_В \cdot t_В = 12 \cdot t_В$
Так как расстояния равны, можем приравнять правые части уравнений:
$3,6 \cdot t_Н = 12 \cdot t_В$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $t_Н = t_В + 3,5$
2) $3,6 \cdot t_Н = 12 \cdot t_В$
Подставим выражение для $t_Н$ из первого уравнения во второе:
$3,6 \cdot (t_В + 3,5) = 12 \cdot t_В$
$3,6 \cdot t_В + 3,6 \cdot 3,5 = 12 \cdot t_В$
$3,6 \cdot t_В + 12,6 = 12 \cdot t_В$
$12,6 = 12 \cdot t_В - 3,6 \cdot t_В$
$12,6 = 8,4 \cdot t_В$
$t_В = \frac{12,6}{8,4} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2} = 1,5$ часа.
Время движения вездехода составило 1,5 часа. Теперь мы можем найти время, которое шёл Незнайка.

Сколько времени шёл Незнайка?
Используем найденное значение $t_В$ и первое уравнение системы:
$t_Н = t_В + 3,5 = 1,5 + 3,5 = 5$ часов.
Ответ: Незнайка шёл 5 часов.

Каково расстояние между Цветочным и Солнечным городами?
Теперь, зная время движения Незнайки и его скорость, можем найти расстояние $S$:
$S = v_Н \cdot t_Н = 3,6 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 18$ км.
Для проверки можно вычислить расстояние, используя данные вездехода:
$S = v_В \cdot t_В = 12 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 18$ км.
Результаты совпадают.
Ответ: Расстояние между Цветочным и Солнечным городами составляет 18 км.

1174. Кот Мурзик купил на базаре 18 кг сметаны, а кот Мурчик — 28 кг.

За обедом Мурзик съел 0,65 купленной сметаны, а Мурчик — $\frac{3}{7}$ своей сметаны.

Кто из котов съел больше сметаны и на сколько килограммов?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала вычислить, сколько сметаны съел каждый кот по отдельности.

1. Вычислим, сколько сметаны съел Мурзик.

Известно, что Мурзик купил 18 кг сметаны и за обедом съел 0,65 от этого количества. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на десятичную дробь, выражающую эту часть:

$18 \times 0,65 = 11,7$ (кг)

Таким образом, Мурзик съел 11,7 кг сметаны.

2. Вычислим, сколько сметаны съел Мурчик.

Известно, что Мурчик купил 28 кг сметаны и съел $\frac{3}{7}$ от этого количества. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на данную дробь:

$28 \times \frac{3}{7} = \frac{28 \times 3}{7} = \frac{4 \times 7 \times 3}{7} = 4 \times 3 = 12$ (кг)

Таким образом, Мурчик съел 12 кг сметаны.

3. Сравним количество съеденной сметаны и найдем разницу.

Теперь сравним количество сметаны, которое съел Мурзик (11,7 кг), с количеством, которое съел Мурчик (12 кг):

$12 \text{ кг} > 11,7 \text{ кг}$

Следовательно, кот Мурчик съел больше сметаны.

Чтобы узнать, на сколько килограммов больше, найдем разность между этими значениями:

$12 - 11,7 = 0,3$ (кг)

Ответ: кот Мурчик съел больше сметаны на 0,3 кг.

1175. Мальчик-с-пальчик в сапогах-скороходах за 3 ч преодолел 1 590 км.

За первый час он прошёл $\frac{15}{53}$ этого расстояния, за второй $\frac{25}{57}$ оставшегося пути. Сколько километров он преодолел за третий час?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдем расстояние, которое Мальчик-с-пальчик прошел за первый час.

   Согласно условию, за первый час он прошел $\frac{15}{53}$ от общего расстояния в 1590 км. Вычислим это значение:

   $1590 \cdot \frac{15}{53} = \frac{1590}{53} \cdot 15 = 30 \cdot 15 = 450$ км.

2. Найдем оставшийся путь после первого часа.

   Для этого вычтем из общего расстояния путь, пройденный за первый час:

   $1590 - 450 = 1140$ км.

3. Найдем расстояние, которое он прошел за второй час.

   За второй час он прошел $\frac{25}{57}$ от оставшегося пути. Вычислим, сколько это километров:

   $1140 \cdot \frac{25}{57} = \frac{1140}{57} \cdot 25 = 20 \cdot 25 = 500$ км.

4. Найдем расстояние, которое он преодолел за третий час.

   Чтобы найти путь, пройденный за третий час, нужно из общего расстояния вычесть путь, пройденный за первые два часа.

   $1590 - (450 + 500) = 1590 - 950 = 640$ км.

Ответ: 640 км.

1176. Было собрано 240 кг семечек подсолнечника. Сколько подсолнечного масла можно изготовить из собранных семечек, если масса зерна составляет 0,7 массы семечек подсолнечника, а масса полученного масла — 0,4 массы зерна?

Для того чтобы узнать, сколько подсолнечного масла можно изготовить, нужно последовательно выполнить два действия.

1. Сначала найдем массу зерна. По условию, она составляет 0,7 от массы семечек подсолнечника. Общая масса семечек — 240 кг.

Масса зерна = (Общая масса семечек) $\times$ 0,7

$240 \text{ кг} \times 0,7 = 168 \text{ кг}$

Таким образом, масса зерна составляет 168 кг.

2. Теперь найдем массу масла, которая составляет 0,4 от массы полученного зерна.

Масса масла = (Масса зерна) $\times$ 0,4

$168 \text{ кг} \times 0,4 = 67,2 \text{ кг}$

Из 240 кг семечек можно изготовить 67,2 кг подсолнечного масла.

Ответ: 67,2 кг

1177. Три великана ели на обед пельмени. Первый великан съел 1 200 пель-меней, второй — $\frac{8}{15}$ того, что съел первый, а третий — 0,85 того, что съел второй. Сколько всего пельменей съели великаны?

Для того чтобы найти общее количество пельменей, необходимо выполнить вычисления по шагам.

1. Вычислим, сколько пельменей съел второй великан. Он съел $ \frac{8}{15} $ от количества, которое съел первый великан (1200 пельменей).

$ 1200 \cdot \frac{8}{15} = \frac{1200}{15} \cdot 8 = 80 \cdot 8 = 640 $ пельменей.

2. Далее вычислим, сколько пельменей съел третий великан. Он съел 0,85 от того, что съел второй великан (640 пельменей).

$ 640 \cdot 0,85 = 544 $ пельменя.

3. Теперь найдем общее количество съеденных пельменей, сложив количество, съеденное каждым из трех великанов.

$ 1200 + 640 + 544 = 2384 $ пельменя.

Ответ: всего великаны съели 2384 пельменя.

1178. Периметр треугольника равен 48 см. Длина одной из сторон тре-угольника составляет $\frac{5}{16}$ периметра, а длина второй — 0,64 длины первой стороны. Найдите стороны треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, а его периметр как $P$. По условию задачи периметр равен 48 см.

1. Найдём длину первой стороны

Длина первой стороны ($a$) составляет $\frac{5}{16}$ от периметра. Вычислим её:

$a = 48 \cdot \frac{5}{16} = \frac{48 \cdot 5}{16} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

2. Найдём длину второй стороны

Длина второй стороны ($b$) составляет 0,64 от длины первой стороны. Вычислим её:

$b = 15 \cdot 0,64 = 9,6$ см.

3. Найдём длину третьей стороны

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон ($P = a + b + c$). Чтобы найти длину третьей стороны ($c$), нужно из периметра вычесть сумму длин двух известных сторон:

$c = P - (a + b) = 48 - (15 + 9,6) = 48 - 24,6 = 23,4$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 15 см, 9,6 см и 23,4 см.

1179. Основание равнобедренного треугольника равно 6,5 см, а длина боковой стороны составляет 0,8 длины основания. Вычислите периметр треугольника.

По условию задачи, нам дан равнобедренный треугольник. Длина его основания, обозначим ее как $a$, равна 6,5 см.

$a = 6,5$ см.

Длина боковой стороны, обозначим ее как $b$, составляет 0,8 от длины основания. Чтобы найти ее, нужно умножить длину основания на 0,8:

$b = a \cdot 0,8 = 6,5 \cdot 0,8 = 5,2$ см.

Так как треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны. Следовательно, у нас есть две стороны длиной 5,2 см и одна сторона (основание) длиной 6,5 см.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника формула периметра выглядит так:

$P = a + 2b$

Подставим известные значения в формулу:

$P = 6,5 + 2 \cdot 5,2 = 6,5 + 10,4 = 16,9$ см.

Ответ: 16,9 см.

1180. Вычислите:

1) 0,1 от суммы чисел 34,56 и 7,94;

2) $ \frac{5}{6} $ от разности чисел 42,3 и 5,4;

3) 0,36 от произведения чисел 12,5 и 1,6;

4) $ \frac{7}{12} $ от частного чисел 14,4 и 0,01.

1) Чтобы найти 0,1 от суммы чисел 34,56 и 7,94, необходимо сначала вычислить их сумму, а затем умножить полученный результат на 0,1.

Первое действие — сложение:

$34,56 + 7,94 = 42,5$

Второе действие — умножение:

$42,5 * 0,1 = 4,25$

Ответ: 4,25

2) Чтобы найти $\frac{5}{6}$ от разности чисел 42,3 и 5,4, необходимо сначала вычислить их разность, а затем умножить полученный результат на дробь $\frac{5}{6}$.

Первое действие — вычитание:

$42,3 - 5,4 = 36,9$

Второе действие — умножение:

$36,9 * \frac{5}{6} = \frac{369}{10} * \frac{5}{6} = \frac{369 * 5}{10 * 6} = \frac{1845}{60} = 30,75$

Ответ: 30,75

3) Чтобы найти 0,36 от произведения чисел 12,5 и 1,6, необходимо сначала вычислить их произведение, а затем умножить полученный результат на 0,36.

Первое действие — умножение:

$12,5 * 1,6 = 20$

Второе действие — умножение:

$20 * 0,36 = 7,2$

Ответ: 7,2

4) Чтобы найти $\frac{7}{12}$ от частного чисел 14,4 и 0,01, необходимо сначала вычислить их частное, а затем умножить полученный результат на дробь $\frac{7}{12}$.

Первое действие — деление:

$14,4 / 0,01 = 1440$

Второе действие — умножение:

$1440 * \frac{7}{12} = \frac{1440}{12} * 7 = 120 * 7 = 840$

Ответ: 840